Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika Materi Persamaan Kuadrat Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Berikut ini saya sajikan ringkasan materi persamaan kuadrat dan kumpulan soal Persamaan Kuadrat yang diambil dari soal UTBK, SBMPTN, SIMAK UI & UTUL UGM, mulai tahun 2013.
Semoga bermanfaat.

A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
$ax^2+bx+c=0$, dengan $a\neq0$
Misalkan akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$.
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat bisa dengan:
1) Memfaktorkan
2) Melengkapkan kuadrat
3) Rumus abc yaitu: $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$, dimana $D=b^2-4ac$

B. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
1) Memiliki dua akar real jika $D\geq 0$
2) Memiliki akar real kembar jika $D=0$
3) Memiliki akar real berbeda jika $D>0$
4) Memiliki akar tidak real atau imajiner jika $D<0$
Adapun sifat akar real dari persamaan kuadrat yaitu:
a) Berlawanan tanda maka $x_1=-x_2$
b) Berkebalikan maka $x_1=\frac{1}{x_2}$

C. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
1) Jumlah akar-akar $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
2) Hasil kali akar-akar $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$
3) Selisih akar-akar $|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{D}}{a}$
4) Jumlah kuadrat akar-akar $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1\cdot x_2$
5) Jumlah pangkat tiga akar-akar $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1\cdot x_2(x_1+x_2)$

D. Membuat Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-akarnya
Misalkan $\alpha$ dan $\beta$ akar-akar suatu persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat tersebut dapat ditulis:
$(x-\alpha)(x-\beta)=0$ atau $x^2-(\alpha+\beta)x+ \alpha\beta=0$

Soal-Soal Persamaan Kuadrat

1. SBMPTN 2013 {Matematika Dasar}
Persamaan kuadrat $x^2-2x+(c-4)=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1>-1$ dan $x_2>-1$, maka....
A. $c<1$ atau $c\geq5$
B. $1<c\geq5$
C. $-1\leq c \leq5$
D. $c>1$
E. $c\leq5$

Jawab: B
 $x_1$ dan $x_2$. akar-akar dari $x^2-2x+(c-4)=0$
$\displaystyle{x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-2)}{1}=2}$
$\displaystyle{x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{c-4}{1}=c-4}$

$x_1>-1$ maka $x_1+1>0\cdots(1)$
$x_2>-1$ maka $x_2+1>0\cdots(2)$
kalikan $(1)$ dan $(2)$  didapat:
$(x_1+1)(x_2+1)>0$
$x_1\cdot x_2+(x_1+x_2)+1>0$
$c-4+2+1>0$
$c-1>0$
$c>1\cdots(3)$

Persamaan kuadrat memiliki dua akar $x_1$ dan $x_2$ maka $D\geq0$
$D\geq0$
$b^2-4ac\geq0$
$(-2)6-4(1)(c-4)\geq0$
$4-4c+16\geq0$
$-4c\geq-20$
$c\leq5\cdot(4)$

Irisan dari $(3)$ dan $(4)$ didapat
$1<c\leq5$

2. SBMPTN 2014 {TKPA}
Persamaan kuadrat $2x^2-px+1=0$ dengan $p>1$, mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Jika $x^2-5x+q=0$ mempunyai akar-akar $\displaystyle{\frac{1}{{\alpha}^2}}$ dan $\displaystyle{\frac{1}{{\beta}^2}}$, maka $q-p=$....
A. $-2$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1
E. 2

Jawab: D
Persamaan $2x^2-px+1=0$ akar-akarnya $\alpha$ dan $\beta$, maka:
$\displaystyle{\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{(-p)}{2}=\frac{p}{2}}\cdots(1)$
$\displaystyle{\alpha\cdot\beta=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\cdots(2)$
Persamaan $x^2-5x+q=0$ akar-akarnya $\displaystyle{\frac{1}{{\alpha}^2}}$ dan $\displaystyle{\frac{1}{{\beta}^2}}$ maka:

$\displaystyle{\frac{1}{{\alpha}^2}+\frac{1}{{\beta}^2}=-\frac{(-5)}{1}=5}$

$\displaystyle{\frac{{\alpha}^2+{\beta}^2}{(\alpha\beta)^2}=5}$ $\displaystyle{\frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}=5}$, substitusi $(1)$ dan $(2)$ $\displaystyle{\frac{\frac{p^2}{4}-2(\frac{1}{2})}{(\frac{1}{2})^2}=5}$ $\displaystyle{\frac{\frac{p^2}{4}-1}{\frac{1}{4}}=5}$ $p^2=9$, karena $p>1$, maka $p=3$.

$\displaystyle{\frac{1}{{\alpha}^2}\cdot \frac{1}{{\beta}^2}=\frac{q}{1}=q}$

$\displaystyle{\frac{1}{(\alpha\beta)^2}=q}$
$\displaystyle{\frac{1}{(\frac{1}{2})^2}=q}$
maka $q=4$
Sehingga $q-p=4-3=1$

3. SBMPTN 2015 {TKPA}
Jika akar-akar persamaan $x^2-ax-b=0$ saling berkebalikan dan salah satu akar tersebut merupakan bilangan positif, maka nilai trekecil yang mungkin untuk $a-b$ adalah....
A. $-3$
B. $-1$
C. 1
D. 2
E. 3

Jawab: E
Misalkan akar-akar $x^2-ax-b=0$ adalah $p$ dan $q$, karena saling berkebalikan maka $p=\frac{1}{q}$.
$\displaystyle{p\cdot q=\frac{-b}{1}=-b}$
$\displaystyle{\frac{1}{q}\cdot q=-b}$, maka $b=-1$
$\displaystyle{p+q=-\frac{(-a)}{1}=a}$
$\displaystyle{\frac{1}{q} + q=a}$ atau $q^{-1}+q=a$

$a-b=q^{-1} + q+1$,
$a-b$ akan minimum jika $(a-b)'=0$
$-q^{-2}+1=0$
$1=\frac{1}{q^2}$ didapat $q=1$, {karena akarnya positif}.
Nilai terkecil $a-b=1^{-1}+1+1=3$

4. SBMPTN 2016 {TKPA}
Misalkan $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat dan merupakan akar-akar persamaan $x^2+ax-30=0$, maka nilai $a$ agar $m+n$ maksimum adalah....
A. 30
B. 29
C. 13
D. $-29$
E. $-31$

Jawab:D
Agar akar-akarnya bulat dan penjumlahannya terbesar maka $x^2+ax-30=0$ haruslah $(x-30)(x+1)=x^2-29x-30=0$, maka nilai $a=-29$

5. SBMPTN 2016 {TKPA}
Diketahui $7-\sqrt7$ adalah salah satu akar $x^2+ax+b=0$ dengan $b$ bilangan real negatif dan $a$ suatu bilangan bulat. Nilai terkecil $a$ adalah....
A. $-5$
B. $-4$
C. 0
D. 4
E. 5

Jawab: B
Karena $7-\sqrt7$ akar persamaan $x^2+ax+b=0$, sedangkan $a$ harus bilangan bulat maka persamaan tersebut jika difaktorkan berbentuk
$(x-(7-\sqrt7))(x+(r-\sqrt7))=0$ dengan $r$ bilangan bulat
$x^2+(r-\sqrt7-(7-\sqrt7))x-(7-\sqrt7)(r-\sqrt7)=0$
$x^2+(r-7)x-(7-\sqrt7)(r-\sqrt7)=0$ dari sini kita dapat
$a=r-7$
$b=-(7-\sqrt7)(r-\sqrt7)$
agar $b$ negatif maka $r-\sqrt7>0$ dengan $r$ bulat, maka nilai $r=3$ {nilai $\sqrt7=2,....$}
Sehingga $a=3-7=-4$

6. SBMPTN 2016 {TKPA}
Jika akar-akar $3x^2+ax-2=0$ dan $2x^2+6x+3b=0$ saling berkebalikan, maka nilai $b-a=$....
A. $-7$
B. $-5$
C. 5
D. 6
E. 7

Jawab: C
Cara 1:
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari $3x^2+ax-2=0$ adalah $-2x^2+ax+3=0$ atau $2x^2-ax-3=0$.
Perasaamn terakhir harus sama dengan $2x^2+6x+3b=0$, didapat
$-a=6$ maka $a=-6$
$3b=-3$ maka $b=-1$
Nilai $b-a=-1-(-6)=5$

Cara 2:
Misalkan akar-akar $3x^2+ax-2=0$ adalah $p$ dan $q$, maka akar-akar $2x^2+6x+3b=0$ adalah $\frac{1}{p}$ dan $\frac{1}{q}$.

Dari $3x^2+ax-2=0$
$p+q=-\frac{a}{3}$
$p\cdot q=-\frac{2}{3}$

dari $2x^2+6x+3b=0$
$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=-\frac{6}{2}=-3$
$\frac{p+q}{pq}=-3$
$\displaystyle{\frac{-\frac{a}{3}}{-\frac{2}{3}}=-3}$
didapat nilai $a=-6$

$\frac{1}{p}\cdot \frac{1}{q}=\frac{3b}{2}$
$\frac{1}{pq}=\frac{3b}{2}$
$\displaystyle{\frac{1}{-\frac{2}{3}}=\frac{3b}{2}}$
didapat $b=-1$
Nilai $b-a=-1-(-6)=5$

7. UM Undip 2017 {Matematika IPA}
Diketahui suatu persamaan kuadrat dengan koefisien bulat akar-akarnya adalah $\cos72^\circ$ dan $\cos144^\circ$. Persamaan kuadrat yang dimaksud adalah....
A. $x^2+2x-4=0$
B. $x^2-4x+2=0$
C. $2x^2+4x-1=0$
D. $4x^2+2x-1=0$
E. $4x^2-2x+1=0$

Jawab: D
Perhatikan $360^\circ=5(72^\circ)$, misalkan $p=72^\circ$.
Maka  $360^\circ=5p$
$360^\circ=3p+2p$
$360^\circ-2p=3p$
$\cos(360^\circ-2p)=\cos3p$
$\cos2p=\cos3p$
$2\cos^2p-1=4\cos^3p-3\cos p$
$4\cos^3p-2\cos^2p-3\cos p+1=0$
$(\cos p-1)(4\cos^2p+2\cos p-1)=0$
$\cos p-1=0$ sehingga $\cos p=1$, (tidak mungkin) atau
$4\cos^2p+2\cos p-1=0$, ini adalah persamaan kuadrat dengan akar $\cos p$
maka persamaan kuadrat yang mungkin adalah $4x^2+2x-1=0$.

Perhatikan bahwa $\cos 2(360^\circ)=\cos 5(144^\circ)$
Sedangkan $\cos 360^\circ=\cos 720^\circ$ dan $\cos 360^\circ=5(72^\circ)$, sehingga
$\cos5(72^\circ)=\cos 5(144^\circ)$, akibatnya $\cos72^\circ=\cos 144^\circ$
Maka $4x^2+2x-1=0$ adalah persamaan kuadrat yang akarnya $\cos 72^\circ$ dan $\cos144^\circ$

8. SIMAK UI 2017 {Matematika IPA}
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar $2x^2-(2c-1)x-c^3+4=0$. Nilai maksimum $x^2_1+x^2_2$ adalah....
A. $-4\frac{3}{4}$
B. $-3\frac{3}{4}$
C. $-2\frac{3}{4}$
D. $2\frac{3}{4}$
E. $3\frac{3}{4}$

Jawab: C
$x^2_1+x^2_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
Misal $x^2_1+x^2_2=p$
$p=(\frac{2c-1}{2})^2-2\frac{(-c^3+4)}{2}$
$p=c^2-c+\frac{1}{4}+c^3-4$
$p$ maksimum jika $p'=0$
$p'=2c-1+3c^2=0$ {difaktorkan}
$(3c-1)(c+1)=0$ didapatkan dua nilai $c=\frac{1}{3}$ dan $c=-1$

Untuk $c=\frac{1}{3}$ didapat $p=(\frac{1}{3})^2-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+(\frac{1}{3})^3-4$
$p=-\frac{5}{27}-\frac{15}{4}$

Untuk $c=-1$ didapat $p=(-1)^2-(-1)+\frac{1}{4}+(-1)^3-4$
$p=-\frac{11}{4}=-2\frac{3}{4}$
maka nilai maksimum $x^2_1+x^2_2=-2\frac{3}{4}$

9. SBMPTN 2018 {Matematika IPA}
Diketahui $p>0$, serta $p$ dan $p^2-2$ merupakan akar-akar persamaan $x^2-10x+c=0$. Jika $c$ merupakan salah satu akar persamaan $x^2+ax+42=0$, maka nilai $a$ adalah....
A. 23
B. 21
C. $-12$
D. $-21$
E. $-23$

Jawab: E
$p$ dan $p^2-2$ akar-akar persamaan $x^2-10x+c=0$
Jumlah akar-akar, $p+p^2-2=10$
$p^2+p-12=0$ difaktorkan $(p+4)(p-3)=0$
didapat nilai $p=3$ {karena $p>0$}

$p(p^2-2)=c$
$3(9-2)=c$, maka $c=21$

$c=21$ akar dari $x^2+ax+42=0$ maka $21^2+a(21)+42=0$, {kedua ruas dibagi 21}
$21+a+2=0$, maka $a+23=0$
Sehingga $a=-23$

10. SBMPTN 2018 {Matematika IPA}
Jika semua akar-akar persamaan $x^2-ax+b(b+1)=0$ merupakan bilangan prima untuk suatu bilangan positif $a$ dan $b$, maka nilai dari $a+b=$....
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8

Jawab: D
Misalkan akar-akar $x^2-ax+b(b+1)=0$ adalah $p$ dan $q$, maka
Hasil kali akar, $pq=b(b+1)$, perhatikan $b(b+1)$ adalah perkalian dua bilangan berurutan yang merupakan hasil perkalian dari 2 bilangan prima, maka bilangan prima yang dimaksud adalah $2$ dan $3$.
Didapat $b=2$ serta akarnya $p=2$ dan $q=3$
Jumlah akar, $p+q=a$
$2+3=a$, maka $a=5$
Nilai $a+b=5+2=7$

11. UTUL UGM 2018 {Matematika Dasar}
Jika $a>0$ dan selisih akar-akar persamaan kuadrat $5x^2-10ax+8a=0$ sama dengan 3, maka $a^2-a=$....
A. $1\frac{1}{9}$
B. $3\frac{3}{4}$
C. $4\frac{4}{9}$
D. $7\frac{1}{2}$
E. $3\frac{3}{9}$

Jawab: B
Misalkan akar-akar $5x^2-10ax+8a=0$ adalah $p$ dan $q$.
Selisih akar persamaan kuadrat $|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{D}}{a}$
$3=\frac{\sqrt{100a^2-4(5)(8a)}}{5}$ {kali silang}
$\sqrt{100a^2-4(5)(8a)}=15$ {dikuadratkan}
$100a^2-160a=225$
$20a^2-32a-45=0$
$(2a-5)(10a+9)=0$, didapat nilai $a=\frac{5}{2}$ atau $a=-\frac{9}{10}$
Karena $a>0$, maka $a=\frac{5}{2}$.
$a^2-a=(\frac{5}{2})^2-\frac{5}{2}=\frac{15}{4}$
$a^2-a=3\frac{3}{4}$

12. UTBK 2019 {Matematika Soshum}
Jika $a$ dan $b$ akar-akar persamaan kuadrat $x^2-(a+3)x+c=0$, dan $b^2=a+10$, maka $c^2+c=$....
A. 2
B. 6
C. 12
D. 20
E. 30

Jawab: B
Jumlah akar-akar, $a+b=a+3$, maka $b=3$
dari $b^2=a+10$, maka nilai $9=a+10$, didapat $a=-1$

Hasil kali akar-akar, $a\cdot b=c$
$3(-1)=c$, maka $c=-3$
Nilai $c^2+c=(-3)^2+(-3)=6$

13. UTBK 2019 {Matematika Soshum}
Jika $a$ dan $b$ akar-akar persamaan kuadrat $x^2-13ax+p+13=0$ dan $p+2b=-25$, maka $a-b=$....
A. $-11$
B. $-5$
C. 0
D. 5
E. 11

Jawab: E
Jumlah akar-akar $a+b=13a$, maka $b=12a$
Dari $p+2b=-25$, maka $p=-2b-25$

Hasil kali akar-akar $a\cdot b=p+13$, substitusi $b$ dan $p$.

$a\cdot 12a=-2b-25+13$

$12a^2=-2(12a)-12$ {kedua ruas dibagi 2}

$a^2=-2a-1$

$a^2+2a+1=0$, maka $(a+1)^2=0$

didapat $a=-1$ dan $b=-12$, sehingga $a-b=-1-(-12)=11$

14. UTBK 2019 {Matematika Saintek}
Diberikan persamaan kuadrat $5x^2-x-\frac{6}{5}=0$. Jika $x_1$ dan $x_2$ akar-akar persamaan tersebut dengan $x_1<x_2$, maka nilai dari $1-\frac{2x_2}{x_1+x_2}$ adalah....
A. $-5$
B. $-\frac{1}{5}$
C. $\frac{1}{5}$
D. 1
E. 5

Jawab: A
$5x^2-x-\frac{6}{5}=0$, kedua ruas dikalikan 5
$25x^2-5x-6=0$ {difaktorkan}
$(5x-3)(5x+1)=0$, karena $x_1<x_2$ maka $x1_1=-\frac{2}{5}$ dan $x_2=\frac{3}{5}$
$1-\frac{2x_2}{x_1+x_2}=1-\frac{2(\frac{3}{5})}{-\frac{2}{5}+\frac{3}{5}}$
$1-\frac{2x_2}{x_1+x_2}=1-\frac{\frac{6}{5}}{\frac{1}{5}}=1-6=-5$

15. UTUL UGM 2019 {Matematika Dasar}
Salah satu akar persamaan kuadrat $x^2-(3a-5)x+3=0$ adalah tiga kali akar yang lain. perkalian dari nilai-nilai $a$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah....
A. $-2$
B. $-1$
C. $0$
D. $1$
E. $2$

Jawab: D
Misalkan akar persamaan tersebut adalah $x_1$ dan $x_2$ dengan $x_1=3x_2$
Jumlah akar-akar, $x_1+x_2=3x_2+x_2=4x_2=3a-5\cdots(1)$
Hasil kali akar-akar, $x_1\cdot x_2=3x_2\cdot x_2=3$, maka $(x_2)^2=1$, didapat $x_2=\pm1$
jika $x_2=1$, substitusi ke $(1)$ maka $4\cdot1=3a-5$, didapat $a_1=3$
jika $x_2=-1$, substitusi ke $(1)$ maka $4\cdot-1=3a-5$, didapat $a_2=\frac{1}{3}$
Hasil perkalian nilai $a$ adalah $3\cdot \frac{1}{3}=1$