Soal dan Pembahasan Matematika IPA Ujian Tulis UGM 2019

Assalamu'alaikum.Wr.Wb.
Bagi yang memerlukan soal dan pembahasan matematika IPA ujian tulis (Utul) UGM 2019, boleh download di sini.

Semoga bermanfaat.

Soal Nomor 1
Sebuah kotak memuat 6 bola merah dan 4 bola hitam. Tiga bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Jika bola ketiga terambil merah, banyaknya kemungkinan adalah....
A. 234
B. 243
C. 324
D. 342
E. 432

Jawab: E
Misalkan cara mengambil bola merah adalah M dan cara mengambil bola hitam adalah H.
Agar pada pengambilan ketiga bola merah, maka kemungkinannya adalah:
*) M, M, M
Banyaknya cara: $\displaystyle C^6_1\displaystyle C^5_1\displaystyle C^4_1=6\cdot5\cdot4=120$

*) M, H, M
Banyaknya cara: $\displaystyle C^6_1\displaystyle C^4_1\displaystyle C^5_1=6\cdot4\cdot5=120$

*) H, H, M
Banyaknya cara: $\displaystyle C^4_1\displaystyle C^3_1\displaystyle C^6_1=4\cdot3\cdot6=72$

*) H, M, M
Banyaknya cara: $\displaystyle C^4_1\displaystyle C^6_1\displaystyle C^5_1=4\cdot6\cdot5=120$
Banyaknya kemungkinan adalah 120+120+72+120=432

Soal Nomor 2
Diketahui penyelesaian dari pertidaksamaan $\displaystyle\frac{3^{x+3}+3^x-36}{9^x-9}\leq3$ adalah $a\leq x <b$ atau $x\geq c$. Nilai $a+2b+c=$....
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4

Jawab: D
$\displaystyle\frac{3^{x+3}+3^x-36}{9^x-9}=\frac{3^x\cdot3^3+3^x-36}{(3^2)^x-9}\leq3$
$\displaystyle\frac{3^x\cdot3^3+3^x-36}{(3^x)^2-9}\leq3$
Misalkan $3^x=p$, pertidaksamaan dapat ditulis:
$\displaystyle\frac{27p+p-36}{p^2-9}\leq3$
$\displaystyle\frac{28p-36}{p^2-9}-\frac{3(p^2-9)}{p^2-9}\leq0$
$\displaystyle\frac{28p-36-3p^2+27}{p^2-9}\leq0$
$\displaystyle\frac{-3p^2+28p-9}{p^2-9}\leq0$
$\displaystyle\frac{-(3p-1)(p-9)}{(p-3)(p+3)}\leq0$
Didapat pembuat nol $\displaystyle p=\frac{1}{3}, p=9, p=3$ dan $p=-3$.

$p=3^x$ hasilnya selalu positif, maka $p=-3$ tidak memenuhi.

Nilai $p$ memenuhi $\displaystyle\frac{1}{3}\leq p<3$ atau $p\geq9$ substitusi $p=3^x$,
$\displaystyle{3^{-1}\leq 3^x<3^1}$ atau $3^x\geq3^2$, didapat nilai $x$ yang memenuhi:
$-1\leq x<1$ atau $x\geq2$
Diperoleh $a=-1, b=1$ dan $c=2$, sehingga nilai $a+2b+c=-1+2(1)+2=3$

Soal Nomor 3
Jika $a<x<b$ adalah solusi pertidaksamaan $1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+\cdots>2$, dengan $x\neq 1$, maka $a+b=$....
A. $-1$
B. $-2$
C. $-3$
D. $-4$
E. $-5$

Jawab: A
$1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+\cdots$ adalah deret geometri tak hingga dengan $a=1$ dan $r=2^x$ dimana $r$ selalu positif.
Agar deret tersebut memiliki jumlah maka $-1<r<1$
karena $r$ selalu positif maka $0<r<1$.
Rumus deret geometri tak hingga : $\displaystyle S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$.
$\displaystyle\frac{1}{1-r}<2$
$\displaystyle\frac{1}{1-r}-\frac{2(1-r)}{1-r}<0$
$\displaystyle\frac{2r-1}{1-r}<0$

Pembuat nol $\displaystyle r=\frac{1}{2}$ dan $r=1$

batas nilai $2^{-1}<r<1$, substitusi $r=2^x$
$2^{-1}<2^x<2^0$, sehingga $-1<x<0$.
didapat $a=-1$ dan $b=0$, maka nilai $a+b=-1+0=-1$

Soal Nomor 4
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $(a, b)$ dan memotong sumbu-$x$ di titik $(3, 0)$ dan $(9, 0)$. Jika garis yang melalui titik $(0, 3)$ menyinggung lingkaran di titik $(3, 0)$, maka nilai $a^2-b^2$ adalah....
A. 9
B. 18
C. 27
D. 36
E. 45

Jawab: C

perhatikan $C$ pertengahan $AD$, maka koordinat $C=(6,0)$
Perhatikan bahwa $AP$ tegak lurus $AB$
$\angle OAB=\angle CAP=45^\circ$
$OA=AC=3$, maka $\triangle OAB$ sebangun dengan $\triangle ACP$.
Karena $OB=3$, maka $CP=3$, sehingga koordinat $P(6,3)$.
Sehingga $a^2-b^2=6^2-3^2=27$

Soal Nomor 5
Jika $(x-2)^2$ membagi $x^4-ax^3+bx^2+4x-4$, maka $ab=$....
A. 9
B. 12
C. 16
D. 20
E. 25

Jawab: B
$(x-2)^2=x^2-4x+4$ membagi $x^4-ax^3+bx^2+4x-4$, maka sisa pembagiannya adalah 0.
Gunakan metoda Horner-Kino:

Dari sisa pembagian didapat
$4+4a-16-16a+4b+48=0$ atau $-12a+4b=-36\cdots(1)$, dan
$-a+16a-4b-48=0$ atau $16a-4b=52\cdots(2)$
Eliminasi $(1)$ dan $(2)$ didapat $a=4$ dan $b=3$, sehingga
$ab=4(3)=12$

Soal Nomor 6
Diberikan empat matriks $A, B, C, D$ berukuran $2\times2$ dengan $A+CB^T=CD$ Jika $A$ mempunyai invers, $\det{D^T-B}=m$ dan $\det(C)=n$ , maka $\det(2A^{-1})=$....
A. $\frac{4}{mn}$
B. $\frac{mn}{4}$
C. $\frac{4m}{n}$
D. $4mn$
E. $\frac{m+n}{4}$

Jawab: A
$A+CB^T=CD$, maka
$A=CD-CB^T=C(D-B^T)$
dari sifat determinan,
$|A|=|C|\cdot|(D-B^T)|$
$|A|=n\cdot m$ karena ($|D^T-B|=|D-B^T|$)
$\displaystyle|2A^{-1}|=2^2\cdot\frac{1}{|A|}=4\cdot\frac{1}{mn}=\frac{4}{mn}$

Soal Nomor 7
Jika $\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ dan $x$ memenuhi $5\cos^2x+3\sin x\cos x\geq1$, maka himpunan semua $y=\tan x$ adalah....
A. $\{y\in R:-1\leq y\leq4\}$
B. $\{y\in R:-4\leq y\leq1\}$
C. $\{y\in R:-4\leq y\leq-1\}$
D. $\{y\in R:1\leq y\leq4\}$
E. $R$

Jawab: A
Persamaan diubah menjadi
$5\cos^2x+3\sin x\cos x\geq\sin^2x+\cos^2x$
$4\cos^2x+3\sin x\cos x-\sin^2x\geq0$
difaktorkan menghasilkan
$(4\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\geq0$
$4\cos x-\sin x=0$, $\sin x=4\cos x$
$\tan x=4$, maka $x=\tan^{-1}4$, atau
$\cos x+\sin x=0$, $\sin x=-\cos x$
$\tan x=-1$, maka $x=-\frac{\pi}{4}$

Nilai $x$ yang memenuhi $-\frac{\pi}{4}\leq x\leq \tan^{-1}4$\\
atau $-1\leq \tan x \leq 4$

Soal Nomor 8
Jika suku banyak $x^4+3x^3+Ax^2+5x+B$ dibagi $x^2+2x+2$ bersisa $7x+14$, maka jika dibagi $x^2+4x+4$ bersisa....
A. $x+1$
B. $x+2$
C. $x+3$
D. $2x+1$
E. $2x+4$

Jawab: B
Mencari nilai $A$ dan $B$ dengan metode Horner-Kino:

Dari sisa pembagian didapat
$-2A+8+5-2=7$, maka $A=2$
$B-2A+8=14$, maka $B=10$
Menentukan sisa pembagian oleh $x^2+4x+4$, menggunakan Horner-Kino:

Maka Sisa pembagiannya adalah $x+2$.

Soal Nomor 9
Jika suku banyak $(^2\log x)^2-(^2\log y)^2=^2\log256$ dan $^2\log x^2-^2\log y^2=^2\log 16$, maka nilai dari $^2\log x^6y^{-2}$ adalah....
A. 24
B. 20
C. 16
D. 8
E. 4

Jawab: C
Faktorkan $(^2\log x)^2-(^2\log y)^2=^2\log 256$,
$(^2\log x-^2\log y)(^2\log x+^2\log y)=8$
$(^2\log\frac{x}{y})(^2\log xy)=8\cdots(1)$
$^2\log x^2-^2\log y^2=^2\log16$, diuraikan
$2(^2\log x)-2(^2\log y)=4$
$^2\log x-^2\log y=^2\log\frac{x}{y}=2\cdots(2)$
Dari sini didapat $\frac{x}{y}=2^2\cdots(3)$
Substitusi (2) ke (1) didapat $^2\log xy=4$
Dari sini didapat $xy=2^4\cdots(4)$
dengan susbtitusi (3) dan (4) didapat $x=2^3$ dan $y=2$
Nilai $^2\log x^6y^{-2}=^2\log(2^3)^62^{-2}=^2\log2^{16}=16$

Soal Nomor 10
Diberikan kubus $ABCD.EFGH$ dan $P$ adalah titik tengah $BC$. Perbandingan luas segitiga $APG$ dan luas segitiga $DPG$ adalah....
A. $1:1$
B. $\sqrt{3}:\sqrt{2}$
C. $\sqrt{2}:1$
D. $3:2$
E. $\sqrt{3}:1$

Jawab: A
Misalkan panjang rusuk kubus adalah $2x$

Perhatikan $\triangle APG$

$AG$ adalah diagonal ruang $AG=2x\sqrt3$
$AP=\sqrt{AB^2+BP^2}$
$AP=\sqrt{4x^2+x^2}=x\sqrt5=PG$
$t_1=\sqrt{AP^2-(\frac{1}{2}AG)^2}$
$t_1=\sqrt{5x^2-3x^2}=x\sqrt2$, maka
Luas $\triangle APG=\frac{1}{2}(AG)(t_1)$
Luas $\triangle APG=\frac{1}{2}(2x\sqrt3)(x\sqrt2)=x^2\sqrt6$

Perhatikan $\triangle DPG$

$DG$ adalah diagonal bidang $DG=2x\sqrt2$
$DP=PG=x\sqrt5$
$t_2=\sqrt{DP^2-(\frac{1}{2}DG)^2}$
$t_2=\sqrt{5x^2-2x^2}=x\sqrt3$, maka
Luas $\triangle DPG=\frac{1}{2}(DG)(t_2)$
Luas $\triangle DPG=\frac{1}{2}(2x\sqrt2)(x\sqrt3)=x^2\sqrt6$
Luas$\triangle APG=\triangle DPG$, maka perbandingannya 1:1

Soal Nomor 11
Misalkan $U_n$ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan aritmatika. Diketahui $U_1\times U_2=10$ dan $U_1 \times U_3=16$. Jika suku-suku dari barisan tersebut merupakan bilangan positif, maka $U_{10}=$....
A. 21
B. 23
C. 25
D. 27
E. 29

Jawab: E\\
Misalkan $U_1=a-b, U_2=a$ dan $U_3=a+b$
$U_1\times U_2=(a-b)a=10\cdots(1)$
$U_1 \times U_3=(a-b)(a+b)=16\cdots(2)$
$\displaystyle{\frac{(2)}{(1)}=\frac{a+b}{a}=\frac{16}{10}}$, maka
$5a+5b=8a$ atau $a=\frac{5}{3}b\cdots(3)$
(3) substitusi ke (1) didapat $(\frac{5}{3}b-b)(\frac{5}{3}b)=10$
$(\frac{2}{3}b)(\frac{5}{3}b)=10$, sehingga didapat $b=3$ dan dari \dots(3) didapat $a=5$
$U_{10}=a+8b=5+8(3)=29$

Soal Nomor 12
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f(x)=(2x+1)^5$ dan $h=f\circ g$. Jika $g(5)=-1$, dan $\displaystyle g'\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2x+2$, maka $h'(5)=$....
A. 10
B. 25
C. 50
D. 60
E. 120

Jawab: C
$h'=(f\circ g)'$
$h'(x)=f'(g(x))g'(x)$
$h'(5)=f'(g(5))g'(5)$
Dari soal $g(5)=-1$, akan dicari $f'(x)$ dan $g'(5)$
$f(x)=(2x+1)^5$ maka $f'(x)=10(2x+1)^4$
Perhatikan $\displaystyle g'\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2x+2$
Karena dicari $g'(5)$ maka $\frac{x+1}{x-1}=5$
$x+1=5x-5$, didapat $x=-\frac{3}{2}$
$g'(5)$ terjadi saat $x=-\frac{3}{2}$
$g'(5)=2(\frac{3}{2})+2=5$
$h'(5)=f'(-1)\cdot 5=10(2(-1)+1)^4\cdot5$
$h'(5)=10\cdot5=50$

Soal Nomor 13
Jika $p>0$ dan $\displaystyle\lim\limits_{x\to p}\frac{x^3+px^2+qx}{x-p}=12$ maka nilai dari $p-q$ adalah....
A. 14
B. 10
C. 8
D. 5
E. 3

Jawab: B
Karena limit memiliki nilai dan penyebut bernilai 0 untuk $x=p$, maka pembilang $x^3+px^2+qx$ harus bernilai 0 untuk $x=p$
$p^3+pp^2+qp=0$, maka $p(2p^2+q)=0$
$p=0$ atau $2p^2+q=0$, karena $p>0$ maka $2p^2+q=0$,
$q=-2p^2$, substitusi ke limit
$\displaystyle\lim\limits_{x\to p}\frac{x^3+px^2-2p^2x}{x-p}=12$
Gunakan dalil L'Hospital.
$\displaystyle\lim\limits_{x\to p}\frac{3x^2+2px-2p^2}{1}=12$
$3p^2+2p^2-2p^2=12$, $3p^2=12$, $p^2=4$, maka $p=2$
$q=-2(2)^2=-8$
Nilai $p-q=2-(-8)=10$

Soal Nomor 14
Jika $\sin x+ \sin 2x + \sin 3x = 0$ untuk $\displaystyle\frac{\pi}{2}<x<\pi$, maka $\tan 2x=$....
A. $-\sqrt3$
B. $-1$
C. $-\frac{1}{3}\sqrt3$
D. $\frac{1}{3}\sqrt3$
E. $\sqrt3$

Jawab: A
$\sin 3x+ \sin x =-\sin 2x$
$2\sin \frac{1}{2}(3x+x)\cos \frac{1}{2}(3x-x)=-\sin 2x$
$2\sin 2x\cos x=-\sin 2x$, boleh dicoret karena $\sin 2x\neq0$
$2\cos x=-1$, $\cos x=-\frac{1}{2}$ maka $x=120^\circ$
$\tan 2x=\tan 240^\circ=-\sqrt3$

Soal Nomor 15
Diketahui $x^2+2xy+4x=-3$ dan $9y^2+4xy+12y=-1$. Nilai dari $x+3y$ adalah....
A. 2
B. 1
C. 0
D. $-1$
E. $-2$

Jawab: E
$(x+3y)^2=x^2+9y^2+6xy\cdots(1)$\
$9y^2+4xy+12y=-1$, $9y^2+6xy-2xy+12y=-1$
$9y^2+6xy=2xy-12y-1$ substitusike (1) didapat
$(x+3y)^2=x^2+2xy-12y-1\cdots(2)$
Dari $x^2+2xy+4x=-3$, didapat $x^2+2xy=-4x-3$, substitusi ke (2)
$(x+3y)^2=-4x-3-12y-1$
$(x+3y)^2=-4(x+3y)-4$
Misalkan $x+3y=p$, maka
$p^2+4p+4=0$
$(p+2)^2=0$ maka $p=-2$
Nilai $x+3y=-2$