Kumpulan Soal dan Pembahasan Limit Fungsi {UTBK, SBMPTN, SIMAK UI, UTUL UGM, UM Undip}
Berikut ini kami sajikan ringakasn materi dan kumpulan soal turunan yang diambil dari soal UTBK/ SBMPTN, SIMAK UI, UTUL UGM dan UM Undip.
A. Sifat-sifat Limit Fungsi
1) $\lim\limits_{x \to a}{f(x)}=f(a)$
2) $\lim\limits_{x \to a}k{f(x)}=k\lim\limits_{x \to a}{f(x)}$
3) $\lim\limits_{x \to a}k{f(x)\pm g(x)}=\lim\limits_{x \to a}{f(x)}\pm\lim\limits_{x \to a}{g(x)}$
4) $\lim\limits_{x \to a}{f(x)\cdot g(x)}=\lim\limits_{x \to a}{f(x)}\cdot\lim\limits_{x \to a}{g(x)}$
5) $\displaystyle{\lim\limits_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\lim\limits_{x \to a}{f(x)}}{\lim\limits_{x \to a}{f(x)}}}$
6) $\lim\limits_{x \to a}{(f(x))^n}=(\lim\limits_{x \to a}{f(x)})^n$
7) $\lim\limits_{x \to a}{\sqrt[n]{f(x)}}=\sqrt[n]{\lim\limits_{x \to a}{f(x)}}$
B. Limit Fungsi Aljabar
1) Bentuk tak tentu $\displaystyle{\lim\limits_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{0}{0}}$
Penyelesaian dengan cara:
a. Pemfaktoran
b. Perkalian akar sekawan
c. Dalil L'Hospital {Menurunkan masing-masing $f(x)$ dan $g(x)$ hingga bentuknya tidak $\frac{0}{0}$
d. Bentuk $\displaystyle{\lim\limits_{x \to a}{\frac{\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}}{\sqrt{h(x)}-\sqrt{j(x)}}}}$ gunakan modifikasi turunan yaitu:
$\displaystyle{\frac{f'(a)-g'(a)}{h'(a)-j'(a)}\cdot \frac{\sqrt{h(a)}+\sqrt{j(a)}}{\sqrt{f(a)}+\sqrt{g(a)}}}$
2) Bentuk tak tentu $\displaystyle{\lim\limits_{x \to \infty}{\frac{a_1x^m+a_2x^{m-1}+a_3x^{m-2}+\dots}{b_1x^n+b_2x^{n-1}+b_3x^{n-2}+\dots}}=\frac{\infty}{\infty}}$
Penyelesaian adalah:
a. $\frac{a}{b}$, jika $m=n$
b. $0$, jika $m<n$
c. $\infty$, jika $m>n$
3) Bentuk tak tentu $\lim\limits_{x\to \infty}{(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r})}=\infty-\infty$
a. Hasilnya $\frac{b-q}{2\sqrt(2)}$, jika $a=p$
b. Hasilnya $\infty$ jika $a>p$
c. Hasilnya $-\infty$ jika $a<p$
C. Limit trigonometri
Sifat limit trigonometri
1) $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin x}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{x}{\sin x}}=1$
2) $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\tan x}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{x}{\tan x}}=1$
3) $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin ax}{bx}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{ax}{\sin bx}}=\frac{a}{b}$
4) $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\tan ax}{bx}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{ax}{\tan bx}}=\frac{a}{b}$
5) $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin ax}{\sin bx}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\tan ax}{\tan bx}}=\frac{a}{b}$
6) $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin ax}{\tan bx}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\tan ax}{\sin bx}}=\frac{a}{b}$
D. Catatan Penting Limit
1) Jika $\displaystyle{\lim\limits_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}\neq \frac{0}{0}}$,nilai $x=a$ boleh langsung substitusi ke $f(x)$ dan $g(x)$
2) Jika $\displaystyle{\lim\limits_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{p}{q}} dan diketahui $g(a)=0$, maka $f(a)=0$
3) $\displaystyle{\lim\limits_{x \to \infty}\frac{a}{f(x)}}=0$ dengan $f(\infty)=\infty$
4) Limit $\frac{0}{0}$ yang mengandung $\sin$ dan $\tan$ dalam bentuk perkalian, maka $\sin$ dan $\tan$ boleh dicoret/ dihilangkan.
Soal-Soal Limit Fungsi
1. Limit SIMAK UI 2014 {Matematika IPA}
Jika $\lim\limits_{x\to 1}{\left[\left(\frac{4}{x^2-x}-\frac{4-3x+x^2}{1-x^2}\right)^{-1}+\frac{4(x^4-1)}{x^2-x^{-1}} \right]}=$....
A. 0
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{8}{3}$
D. $\frac{14}{3}$
E. $\frac{16}{3}$
Jawab: E
Menggunakan sifat penjumlahan limit dipecah menjadi $\lim\limits_{x\to 1}{\left(\frac{4}{x^2-x}-\frac{4-3x+x^2}{1-x^2}\right)^{-1}}+\lim\limits_{x\to 1}{\frac{4(x^4-1)}{x^2-x^{-1}}}$
$\lim\limits_{x\to 1}{\frac{1}{\left(\frac{4}{x^2-x}-\frac{4-3x+x^2}{1-x^2}\right)}}+\lim\limits_{x\to 1}{\frac{4(x^4-1)}{x^2-x^{-1}}}$. Perhatikan limit pertama bentuknya tidak $\frac{0}{0}$, boleh substitusi langsung, bentuk limit kedua gunakan dalil L'Hospital.
$\frac{1}{\left(\frac{4}{1^2-1}-\frac{4-3(1)+1^2}{1-1^2}\right)}+\lim\limits_{x\to 1}{\frac{16x^3}{2x+x^{-2}}}$.
$\frac{1}{\left(\frac{4}{0}-\frac{2}{0}\right)}+\frac{16(1)^3}{2(1)+(1)^{-2}}$
$\frac{1}{\left(\infty-\infty\right)}+\frac{16(1)^3}{2(1)+(1)^{-2}}$
$\frac{1}{\infty}+\frac{16}{3}=0+\frac{16}{3}$
Hasil limitnya adalah $\frac{16}{3}$
2. Limit SBMPTN 2014 {Matematika IPA}
Jika $\lim\limits_{x\to a}{\left(f(x)+\frac{1}{g(x)}\right)}=4$ dan $\lim\limits_{x\to a}{\left(f(x)-\frac{1}{g(x)}\right)}=-3$, maka nilai dari $\lim\limits_{x\to a}{\left(f^2(x)+\frac{1}{g^2(x)}\right)}=$....
A. 13
B. 12,5
C. 12
D. 11,5
E. 11
Jawab:
$\lim\limits_{x\to a}{f(x)}+\lim\limits_{x\to a}{\frac{1}{g(x)}}=4$ dan
$\lim\limits_{x\to a}{f(x)}-\lim\limits_{x\to a}{\frac{1}{g(x)}}=-3$
Misalkan $a=\lim\limits_{x\to a}{f(x)}$ dan $b=\lim\limits_{x\to a}{\frac{1}{g(x)}}$, maka
$a+b=4$
$a-b=-3$
dengan eliminasi didapat $a=\frac{1}{2}$ dan $b=\frac{7}{2}$
$\lim\limits_{x\to a}{\left(f^2(x)+\frac{1}{g^2(x)}\right)}=\lim\limits_{x\to a}{f^2(x)}+\lim\limits_{x\to a}{\frac{1}{g^2(x)}}=\left(\lim\limits_{x\to a}{f(x)}\right)^2+\left(\lim\limits_{x\to a}{\frac{1}{g(x)}}\right)^2$
Karena $a=\lim\limits_{x\to a}{f(x)}$ dan $b=\lim\limits_{x\to a}{\frac{1}{g(x)}}$
maka hasil limitnya $(\frac{1}{2})^2+(\frac{7}{2})^2=\frac{50}{4}=12,5$
3. Limit SBMPTN 2015 {Matematika IPA}
Nilai dari $\displaystyle{\lim\limits_{x\to 1}{\frac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x}+1)}{1-x}}}$
A. $-\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{8}$
D. $\frac{1}{4}$
E. $\frac{1}{2}$
Jawab: E
Menggunakan sifat perkalian limit dipecah menjadi
$\displaystyle{\lim\limits_{x\to 1}{\frac{(\sqrt{5-x}-2)}{1-x}}\cdot \lim\limits_{x\to 1}{(\sqrt{2-x}+1)}}$. Limit yang pertama menggunakan modifikasi turunan dan limit kedua substitusi langsung.
$\displaystyle{\lim\limits_{x\to 1}{\frac{(\sqrt{5-x}-\sqrt{4})}{1-x}}\cdot \lim\limits_{x\to 1}{(\sqrt{2-x}+1)}}$
$\displaystyle{\lim\limits_{x\to 1}{\frac{-1}{-1}\cdot\frac{1}{\sqrt{5-x}+\sqrt{4}}}\cdot (\sqrt{2-1}+1)}$
$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}\cdot (2)}=\frac{1}{2}$
4. Limit SIMAK UI 2015 {Matematika IPA}
Jika $f(x)=\sin 2x$ maka $\displaystyle{\lim\limits_{h\to 0}{\frac{f(x+\frac{h}{2})+2f(x)+f(x-\frac{h}{2})}{h^2}}=}$....
A. $2\sin 2x$
B. $\sin 2x$
C. 0
D. $-\sin 2x$
E. $-2\sin 2x$
Jawab: D
Karena untuk $h=0$ hasil limit $\frac{0}{0}$, maka pembilang dan penyebut dalam limit diturunkan terhadap $h$.
$\displaystyle{\lim\limits_{h\to 0}{\frac{\frac{1}{2}(f'(x+\frac{h}{2}))+0-\frac{1}{2}(f'(x-\frac{h}{2}))}{2h}}}$, karena masih $\frac{0}{0}$, diturunkan sekali lagi
$\displaystyle{\lim\limits_{h\to 0}{\frac{\frac{1}{4}(f''(x+\frac{h}{2}))+\frac{1}{4}(f''(x-\frac{h}{2}))}{2}}}$, substitusi $h=0$
$\displaystyle{\frac{\frac{1}{4}(f''(x))+\frac{1}{4}(f''(x))}{2}=\frac{\frac{1}{2}f''(x)}{2}=\frac{1}{4}f''(x)}$
Perhatikan $f(x)=\sin 2x$, maka $f'(x)=2\cos 2x$ dan $f''(x)=-4\sin 2x$
Sehingga hasil limitnya adalah $\frac{1}{4}(-4\sin 2x)=-\sin 2x$
5. Limit Utul UGM 2015 {Matematika IPA}
Jika $b,c\neq 0$ dan $\displaystyle{\lim\limits_{x\to a}{\frac{(x-a)\tan b(a-x)}{\cos c(x-a)-1}}=d}$, maka $b=$....
A. $2c^2d$
B. $c^2d$
C. $\frac{1}{2}c^2d$
D. $-\frac{1}{2}c^2d$
A. Sifat-sifat Limit Fungsi
1) $\lim\limits_{x \to a}{f(x)}=f(a)$
2) $\lim\limits_{x \to a}k{f(x)}=k\lim\limits_{x \to a}{f(x)}$
3) $\lim\limits_{x \to a}k{f(x)\pm g(x)}=\lim\limits_{x \to a}{f(x)}\pm\lim\limits_{x \to a}{g(x)}$
4) $\lim\limits_{x \to a}{f(x)\cdot g(x)}=\lim\limits_{x \to a}{f(x)}\cdot\lim\limits_{x \to a}{g(x)}$
5) $\displaystyle{\lim\limits_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\lim\limits_{x \to a}{f(x)}}{\lim\limits_{x \to a}{f(x)}}}$
6) $\lim\limits_{x \to a}{(f(x))^n}=(\lim\limits_{x \to a}{f(x)})^n$
7) $\lim\limits_{x \to a}{\sqrt[n]{f(x)}}=\sqrt[n]{\lim\limits_{x \to a}{f(x)}}$
B. Limit Fungsi Aljabar
1) Bentuk tak tentu $\displaystyle{\lim\limits_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{0}{0}}$
Penyelesaian dengan cara:
a. Pemfaktoran
b. Perkalian akar sekawan
c. Dalil L'Hospital {Menurunkan masing-masing $f(x)$ dan $g(x)$ hingga bentuknya tidak $\frac{0}{0}$
d. Bentuk $\displaystyle{\lim\limits_{x \to a}{\frac{\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}}{\sqrt{h(x)}-\sqrt{j(x)}}}}$ gunakan modifikasi turunan yaitu:
$\displaystyle{\frac{f'(a)-g'(a)}{h'(a)-j'(a)}\cdot \frac{\sqrt{h(a)}+\sqrt{j(a)}}{\sqrt{f(a)}+\sqrt{g(a)}}}$
2) Bentuk tak tentu $\displaystyle{\lim\limits_{x \to \infty}{\frac{a_1x^m+a_2x^{m-1}+a_3x^{m-2}+\dots}{b_1x^n+b_2x^{n-1}+b_3x^{n-2}+\dots}}=\frac{\infty}{\infty}}$
Penyelesaian adalah:
a. $\frac{a}{b}$, jika $m=n$
b. $0$, jika $m<n$
c. $\infty$, jika $m>n$
3) Bentuk tak tentu $\lim\limits_{x\to \infty}{(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r})}=\infty-\infty$
a. Hasilnya $\frac{b-q}{2\sqrt(2)}$, jika $a=p$
b. Hasilnya $\infty$ jika $a>p$
c. Hasilnya $-\infty$ jika $a<p$
C. Limit trigonometri
Sifat limit trigonometri
1) $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin x}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{x}{\sin x}}=1$
2) $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\tan x}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{x}{\tan x}}=1$
3) $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin ax}{bx}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{ax}{\sin bx}}=\frac{a}{b}$
4) $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\tan ax}{bx}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{ax}{\tan bx}}=\frac{a}{b}$
5) $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin ax}{\sin bx}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\tan ax}{\tan bx}}=\frac{a}{b}$
6) $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin ax}{\tan bx}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\tan ax}{\sin bx}}=\frac{a}{b}$
D. Catatan Penting Limit
1) Jika $\displaystyle{\lim\limits_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}\neq \frac{0}{0}}$,nilai $x=a$ boleh langsung substitusi ke $f(x)$ dan $g(x)$
2) Jika $\displaystyle{\lim\limits_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{p}{q}} dan diketahui $g(a)=0$, maka $f(a)=0$
3) $\displaystyle{\lim\limits_{x \to \infty}\frac{a}{f(x)}}=0$ dengan $f(\infty)=\infty$
4) Limit $\frac{0}{0}$ yang mengandung $\sin$ dan $\tan$ dalam bentuk perkalian, maka $\sin$ dan $\tan$ boleh dicoret/ dihilangkan.
Soal-Soal Limit Fungsi
1. Limit SIMAK UI 2014 {Matematika IPA}
Jika $\lim\limits_{x\to 1}{\left[\left(\frac{4}{x^2-x}-\frac{4-3x+x^2}{1-x^2}\right)^{-1}+\frac{4(x^4-1)}{x^2-x^{-1}} \right]}=$....
A. 0
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{8}{3}$
D. $\frac{14}{3}$
E. $\frac{16}{3}$
Jawab: E
Menggunakan sifat penjumlahan limit dipecah menjadi $\lim\limits_{x\to 1}{\left(\frac{4}{x^2-x}-\frac{4-3x+x^2}{1-x^2}\right)^{-1}}+\lim\limits_{x\to 1}{\frac{4(x^4-1)}{x^2-x^{-1}}}$
$\lim\limits_{x\to 1}{\frac{1}{\left(\frac{4}{x^2-x}-\frac{4-3x+x^2}{1-x^2}\right)}}+\lim\limits_{x\to 1}{\frac{4(x^4-1)}{x^2-x^{-1}}}$. Perhatikan limit pertama bentuknya tidak $\frac{0}{0}$, boleh substitusi langsung, bentuk limit kedua gunakan dalil L'Hospital.
$\frac{1}{\left(\frac{4}{1^2-1}-\frac{4-3(1)+1^2}{1-1^2}\right)}+\lim\limits_{x\to 1}{\frac{16x^3}{2x+x^{-2}}}$.
$\frac{1}{\left(\frac{4}{0}-\frac{2}{0}\right)}+\frac{16(1)^3}{2(1)+(1)^{-2}}$
$\frac{1}{\left(\infty-\infty\right)}+\frac{16(1)^3}{2(1)+(1)^{-2}}$
$\frac{1}{\infty}+\frac{16}{3}=0+\frac{16}{3}$
Hasil limitnya adalah $\frac{16}{3}$
2. Limit SBMPTN 2014 {Matematika IPA}
Jika $\lim\limits_{x\to a}{\left(f(x)+\frac{1}{g(x)}\right)}=4$ dan $\lim\limits_{x\to a}{\left(f(x)-\frac{1}{g(x)}\right)}=-3$, maka nilai dari $\lim\limits_{x\to a}{\left(f^2(x)+\frac{1}{g^2(x)}\right)}=$....
A. 13
B. 12,5
C. 12
D. 11,5
E. 11
Jawab:
$\lim\limits_{x\to a}{f(x)}+\lim\limits_{x\to a}{\frac{1}{g(x)}}=4$ dan
$\lim\limits_{x\to a}{f(x)}-\lim\limits_{x\to a}{\frac{1}{g(x)}}=-3$
Misalkan $a=\lim\limits_{x\to a}{f(x)}$ dan $b=\lim\limits_{x\to a}{\frac{1}{g(x)}}$, maka
$a+b=4$
$a-b=-3$
dengan eliminasi didapat $a=\frac{1}{2}$ dan $b=\frac{7}{2}$
$\lim\limits_{x\to a}{\left(f^2(x)+\frac{1}{g^2(x)}\right)}=\lim\limits_{x\to a}{f^2(x)}+\lim\limits_{x\to a}{\frac{1}{g^2(x)}}=\left(\lim\limits_{x\to a}{f(x)}\right)^2+\left(\lim\limits_{x\to a}{\frac{1}{g(x)}}\right)^2$
Karena $a=\lim\limits_{x\to a}{f(x)}$ dan $b=\lim\limits_{x\to a}{\frac{1}{g(x)}}$
maka hasil limitnya $(\frac{1}{2})^2+(\frac{7}{2})^2=\frac{50}{4}=12,5$
3. Limit SBMPTN 2015 {Matematika IPA}
Nilai dari $\displaystyle{\lim\limits_{x\to 1}{\frac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x}+1)}{1-x}}}$
A. $-\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{8}$
D. $\frac{1}{4}$
E. $\frac{1}{2}$
Jawab: E
Menggunakan sifat perkalian limit dipecah menjadi
$\displaystyle{\lim\limits_{x\to 1}{\frac{(\sqrt{5-x}-2)}{1-x}}\cdot \lim\limits_{x\to 1}{(\sqrt{2-x}+1)}}$. Limit yang pertama menggunakan modifikasi turunan dan limit kedua substitusi langsung.
$\displaystyle{\lim\limits_{x\to 1}{\frac{(\sqrt{5-x}-\sqrt{4})}{1-x}}\cdot \lim\limits_{x\to 1}{(\sqrt{2-x}+1)}}$
$\displaystyle{\lim\limits_{x\to 1}{\frac{-1}{-1}\cdot\frac{1}{\sqrt{5-x}+\sqrt{4}}}\cdot (\sqrt{2-1}+1)}$
$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}\cdot (2)}=\frac{1}{2}$
4. Limit SIMAK UI 2015 {Matematika IPA}
Jika $f(x)=\sin 2x$ maka $\displaystyle{\lim\limits_{h\to 0}{\frac{f(x+\frac{h}{2})+2f(x)+f(x-\frac{h}{2})}{h^2}}=}$....
A. $2\sin 2x$
B. $\sin 2x$
C. 0
D. $-\sin 2x$
E. $-2\sin 2x$
Jawab: D
Karena untuk $h=0$ hasil limit $\frac{0}{0}$, maka pembilang dan penyebut dalam limit diturunkan terhadap $h$.
$\displaystyle{\lim\limits_{h\to 0}{\frac{\frac{1}{2}(f'(x+\frac{h}{2}))+0-\frac{1}{2}(f'(x-\frac{h}{2}))}{2h}}}$, karena masih $\frac{0}{0}$, diturunkan sekali lagi
$\displaystyle{\lim\limits_{h\to 0}{\frac{\frac{1}{4}(f''(x+\frac{h}{2}))+\frac{1}{4}(f''(x-\frac{h}{2}))}{2}}}$, substitusi $h=0$
$\displaystyle{\frac{\frac{1}{4}(f''(x))+\frac{1}{4}(f''(x))}{2}=\frac{\frac{1}{2}f''(x)}{2}=\frac{1}{4}f''(x)}$
Perhatikan $f(x)=\sin 2x$, maka $f'(x)=2\cos 2x$ dan $f''(x)=-4\sin 2x$
Sehingga hasil limitnya adalah $\frac{1}{4}(-4\sin 2x)=-\sin 2x$
5. Limit Utul UGM 2015 {Matematika IPA}
Jika $b,c\neq 0$ dan $\displaystyle{\lim\limits_{x\to a}{\frac{(x-a)\tan b(a-x)}{\cos c(x-a)-1}}=d}$, maka $b=$....
A. $2c^2d$
B. $c^2d$
C. $\frac{1}{2}c^2d$
D. $-\frac{1}{2}c^2d$
E. $-c^2d$
Jawab: D
Karena pembilang bentuknya perkalian, $\tan$ boleh dicoret.
Perhatikan $\cos c(x-a)=1-2\sin^2\frac{c}{2}(x-a)$
Limit di soal menjadi
$\displaystyle{\lim\limits_{x\to a}{\frac{(x-a)b(a-x)}{1-2\sin^2\frac{c}{2}(x-a)-1}}=d}$
$\displaystyle{\lim\limits_{x\to a}{\frac{-(x-a)b(x-a)}{-2\sin\frac{c}{2}(x-a)\cdot\sin\frac{c}{2}(x-a)}}=d}$, di penyebut $\sin$ dicoret karena bentunya perkalian.
$\displaystyle{\lim\limits_{x\to a}{\frac{-(x-a)b(x-a)}{-2\frac{c}{2}(x-a)\cdot\frac{c}{2}(x-a)}}=d}$, coret $(x-a)$
Menghasilkan $\displaystyle{\frac{-b}{-c\cdot\frac{c}{2}}=d}$
Nilai $b=\frac{1}{2}c^2d$
6. Limit SBMPTN 2016 {Matematika Dasar}
Diketahui $f(x)=x^2+ax+b$ dengan $f(3)=1$. Jika $\lim\limits_{x\to 3}{\frac{x-3}{f(x)-f(3)}=\frac{1}{2}}$, maka nilai $a+b=$....
A. 8
B. 0
C. $-2$
D. $-4$
E. $-8$
Jawab: B
$f(x)=x^2+ax+b$ dan $f(3)=1$ maka
$9+3a+b=1$ atau $b=-3a-8$
Penyelesaian limit dengan dalil L'Hospital
$\lim\limits_{x\to 3}{\frac{x-3}{f(x)-f(3)}=\frac{1}{2}}$
$\lim\limits_{x\to 3}{\frac{x-3}{x^2+ax+b-1}=\frac{1}{2}}$
$\lim\limits_{x\to 3}{\frac{1}{2x+a}=\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{2(3)+a}=\frac{1}{2}$, kali silang
$6+a=2$, maka $a=-4$
$b=-3(-4)-8=4$
Nilai $a+b=-4+4=0$
6. Limit SBMPTN 2016 {Matematika Dasar}
Diketahui $f(x)=x^2+ax+b$ dengan $f(3)=1$. Jika $\lim\limits_{x\to 3}{\frac{x-3}{f(x)-f(3)}=\frac{1}{2}}$, maka nilai $a+b=$....
A. 8
B. 0
C. $-2$
D. $-4$
E. $-8$
Jawab: B
$f(x)=x^2+ax+b$ dan $f(3)=1$ maka
$9+3a+b=1$ atau $b=-3a-8$
Penyelesaian limit dengan dalil L'Hospital
$\lim\limits_{x\to 3}{\frac{x-3}{f(x)-f(3)}=\frac{1}{2}}$
$\lim\limits_{x\to 3}{\frac{x-3}{x^2+ax+b-1}=\frac{1}{2}}$
$\lim\limits_{x\to 3}{\frac{1}{2x+a}=\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{2(3)+a}=\frac{1}{2}$, kali silang
$6+a=2$, maka $a=-4$
$b=-3(-4)-8=4$
Nilai $a+b=-4+4=0$
Posting Komentar
0 Komentar