Soal dan Pembahasan UTUL UGM 2019 (Matematika Dasar)

Assalamu'alaikum.
Bagi teman-teman yang membutuhkan soal dan pembahasan matematika dasar UTUL UGM 2019, kalian bisa mendapatkannya di sini ya.


Saya tuliskan soalnya di postingan ini atau juga bisa download versi pdf pembahasan matematika dasar UTUL UGM 2019 di sini.

Semoga bermanfaat ya..

Soal No.1
Nilai $x$ yang merupakan penyelesaian dari $-2^{2x+1}+4^x+8^{x+\frac{1}{3}}-8^{\frac{2x-1}{3}}-16^{\frac{2x-1}{4}}>0$ adalah....
A. $-1\le x<0$
B. $x>0$
C. $x<1$ atau $x>1$
D. $0\le x<1$
E. $x>1$

Jawab: B
Bentuk di soal diubah menjadi
$-(2^{2x}\cdot 2^1)+(2^2)^x+(2^3)^{x+\frac{1}{3}}-(2^{3})^{\frac{2x-1}{3}}-(2^{4})^{\frac{2x-1}{4}}>0$
$-2(2^x)^2+(2^x)^2+(2)^{3x+1}-2^{2x-1}-2^{2x-1}>0$
$-(2^x)^2+(2)^{3x}\cdot 2^1-2(2^{2x-1})>0$
$-(2^x)^2+2(2^x)^3-2(2^{2x}\cdot 2^{-1})>0$
$-(2^x)^2+2(2^x)^3-2((2^x)^2\cdot \frac{1}{2})>0$
$-2(2^x)^2+2(2^x)^3>0$
misal $2^x=p$, maka pertidaksamaan dapat diubah menjadi
$2p^3-2p^2>0$
$2p^2(p-1)>0$, pembuat nolnya $p=0$ dan $p=1$

$p$ yang memenuhi adalah $p>1$ atau $2^x>2^0$
sehingga $x>0$

Soal No.2
Hasil penjumlahan semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $x^{4\log x}=\frac{x^{12}}{10^8}$ adalah....
A. $1$
B. $11$
C. $101$
D. $110$
E. $1100$

Jawab:D
Tambahkan log di persamaan pada soal
$\log {x^{4\log x}}=\log {\frac{x^{12}}{10^8}}$
$4\log x(\log x)=\log x^{12}-\log 10^{8}$
$4\log x(\log x)=12\log x-8=0$ atau $4\log x(\log x)-12\log x+8=0$
Persamaan di atas dibagi 4 didapatkandan dimisalkan $\log x=p$, persamaan menjadi
$p^2-3p+2=0$ atau $(p-1)(p-2)=0$, pembuat nol $p_1=1$ atau $p_2=2$.
untuk $p_1=1$ maka $\log x_1=1$ didapat $x-1=10$
untuk $p_2=2$ maka $\log x_2=2$ didapat $x-2=100$
maka hasil jumlah nilai $x_1+x_2=10+100=110$

Soal No.3
Salah satu akar persamaan kuadrat $x^2-(3a-5)x+3=0$ adalah tiga kali akar yang lain. perkalian dari nilai-nilai $a$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah....
A. $-2$
B. $-1$
C. $0$
D. $1$
E. $2$

Jawab: D
Misalkan akar persamaan tersebut adalah $x_1$ dan $x_2$ dengan $x_1=3x_2$
didapat $x_1+x_2=3x_2+x_2=4x_2=3a-5\cdots(1)$
$x_1\cdot x_2=3x_2\cdot x_2=3$, $(x_2)^2=1$, maka $x_2=\pm1$
jika $x_2=1$, substitusi ke $(1)$ maka $4\cdot1=3a-5$, didapat $a_1=3$
jika $x_2=-1$, substitusi ke $(1)$ maka $4\cdot-1=3a-5$, didapat $a_2=\frac{1}{3}$
Hasil perkalian nilai $a$ adalah $3\cdot \frac{1}{3}=1$

Soal No.4
Grafik fungsi kuadrat $y=ax^2+bx+c$ mempunyai puncak di $(1,1)$ dan menyinggung garis $y=x+1$. Nilai $8a-4b=$....
A. $-4$
B. $-2$
C. $0$
D. $2$
E. $4$

Jawab: A
Misalkan titik puncak fungsi tersebut $(x_p, y_p)$, maka absis titik puncak $x_p=1$ dan ordinatnya $y_p=1$.
$x_p$ didapat dari $x_p=-\frac{b}{2a}$, maka $1=-\frac{b}{2a}$ sehingga $b=-2a$.
Substitusikan $b=-2a$, $x_p=1$ dan $y_p=1$ ke fungsi kuadrat didapat $1=a(1)^2-2a(1)+c$
$1=-a+c$ atau $c=a+1$, maka fungsinya menjadi $y=ax^2-2ax+a+1$.
Garis singgung fungsi di $y=x+1$ yang bergradien $m=1$.
$m=y'$ maka $1=2ax-2a$ kita dapat absis titik singgung di $x=\frac{1+2a}{2a}$.
Substitusi $x=\frac{1+2a}{2a}$ ke garis singgung didapat $y=\frac{1+2a}{2a}+1$, sehingga ordinat titik singggung $y=\frac{1+4a}{2a}$.
Fungsi kuadrat melewati titik $(\frac{1+2a}{2a},\frac{1+4a}{2a})$, substitusikan ke fungsi diperoleh
$\frac{1+4a}{2a}=a(\frac{1+2a}{2a})^2-2a(\frac{1+2a}{2a})+a+1$
$\frac{1+4a}{2a}=a\frac{(1+4a+4a^2)}{4a^2})-(\frac{2a+4a^2}{2a})+a+1$, kedua ruas dikalikan dengan $4a^2$ didapat
$2a(1+4a)=(a+4a^2+4a^3)-2a(2a+4a^2)+4a^3+4a^2$
$2a+8a^2=a+4a^2+4a^3-4a^2-8a^3+4a^3+4a^2$
$4a^2+a=0$ diperoleh $a=0$ atau $a=-\frac{1}{4}$. Karena $a\neq0$ maka untuk $a=-\frac{1}{4}$ didapat $b=-2(-\frac{1}{4})=\frac{1}{2}$.
$8a-4b=8(-\frac{1}{4})-4(\frac{1}{2})=-2-2=-4$

Soal No.5
Pada sistem persamaan berikut $$x^2+xy+xz=1$$ $$y^2+yz+yx=6$$ $$z^2+zx+zy=9$$ nilai $z$ adalah....
A. $\frac{2}{3}$
B. $1$
C. $\frac{3}{2}$
D. $\frac{9}{4}$
E. $3$

Jawab: D
Sistem persamaan dapat diubah menjadi
\begin{align*}
x(x+y+z)=1 \cdots(1)\\
y(x+y+z)=6 \cdots(2)\\
z(x+y+z)=9 \cdots(3)
\end{align*}
ketiga persamaan dijumlahkan hasilnya $(x+y+z)(x+y+z)=16$, didapat $x+y+z=\pm4 \cdots(4)$
mencari $z$ masukkan $(4)$ ke $(3)$ didapat $z=\frac{9}{\pm4}=\pm\frac{9}{4}$
maka nilai $z=\frac{9}{4}$

Soal No.6
Jika himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan $\sqrt{x^2-x+1} \le \sqrt{x+1}$ adalah $\{|x$ bilangan real, $a\le x \le b\}$, maka $a+b$=....
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $5$

Jawab: B
Syarat di dalam akar tidak negatif, $x^2-x+1\ge0$ dan $x+1\ge0$.
Perhatikan bahwa $x^2-x+1$ memiliki diskriminan $D=-3\le0$ dan $a=1>0$, karena $D<0$ dan $a>0$ maka $x^2-x+1$ definit positif untuk semua nilai $x$.
Untuk $x+1$ syaratnya $x\ge-1$.
pertidaksamaan dikuadratkan didapat
$x^2-x+1\le x+1$ atau $x^2-2x=x(x-2)\le0$, pembuat nol $x=0$ dan $x=2$.

nilai $x$ yang memenuhi adalah $0\le x\le 2$ dan nilainya sesuai dengan syarat $x\ge-1$
sehingga $a=0$ dan $b=2$, diperoleh nilai $a+b=2$

Soal No.7
Sebuah buku dibeli dengan harga Rp.1000,00 dan dijual Rp1.100,00. Sebuah pena dibeli harga Rp1.500 dan dijual Rp1.700,00. Seorang pedagang yang memiliki modal Rp300.000,00 dan tokonya dapat memuat paling banyak 250 buku dan pena akan memperoleh keuntungan sebesar....
A. Rp30.000
B. Rp40.000
C. Rp50.000
D. Rp60.000
E. Rp70.000

Jawab: B
Misalkan banyaknya $x=$ jumlah buku dan $y=$ jumlah pena.
Modal Rp300.000,00 akan dibelikan untuk buku dan pena maka $1000x+1500y\le300.000$ disederhanakan $x+1.5y\le300$
banyaknya buku dan pena yang bisa dimuat 250 maka $x+y\le250$
kita dapatkan sistem pertidaksamaan
$x+1,5y\le3 \cdots(1$)
$x+y\le2.5 \cdots(2)$
$x,y\ge0 \cdots(3)$
$x$ dan $y$ dalam ratusan
keuntungan penjualan sebuah buku Rp1100-1000=Rp100,00
keuntungan penjualan sebuah pena Rp1700-1500=Rp200,00
fungsi tujuan $f(x,y)=100x+200y$
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas adalah

titik $A(2.5,0)$, $B(1.5,1)$ dan $C(0,2)$
$f(x,y)$ di titik $A$ didapat $f(x,y)=100(250)+200(0)=25000$
$f(x,y)$ di titik $B$ didapat $f(x,y)=100(150)+200(100)=35000$
$f(x,y)$ di titik $C$ didapat $f(x,y)=100(0)+200(000)=40000$
maka keuntungan terbesar $Rp40.000,00$

Soal No.8
Diberikan barisan geometri tak konstan $a, b, c, \dots$. Jika $abc=27$ dan $9a+b+c=33$, maka $6a+7b$=....
A. $39$
B. $30$
C. $23$
D. $18$
E. $9$

Jawab: C
Dalam narisan geometri berlaku $(u_2)^2=u_1\cdot u_3$, atau $b^2=ac$
karena $abc=27$ dan $b^2=ac$ maka $b^3=27$, didapat $b=3$ dan $ac=9$, atau $c=\frac{9}{a}$
$b$ dan $c$ di substitusi ke persamaan $9a+b+c=33$
$9a+3+\frac{9}{a}=33$ kalilkan persamaan dengan $a$ didapat $9a^2-30a+9=3a^2-10a+3=0$
difaktorkan menjadi $(3a-1)(a-3)=0$, sehingga nilai $a=\frac{1}{3}$ atau $a=3$
karena $a$ tidak konstan maka $a=\frac{1}{3}$.
Nilai $6a+7b=6(\frac{1}{3})+7(3)=23$

Soal No.9
Diberikan bilangan real $r$ dengan $0<r<1$. Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio $\frac{1}{1+r}$ adalah 8, maka jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio $r$ adalah....
A. $10$
B. $12$
C. $15$
D. $16$
E. $18$

Jawab: B
Jumlah tak hingga $S_\infty(1)=8$ dengan $a=2$ dan rasio $\frac{1}{1+r}$, rumus deret tak hingga $S_\infty=\frac{a}{1-r}$
$S_\infty(1)=\frac{2}{1-\frac{1}{1+r}}$
${8}=\frac{2}{\frac{r}{1+r}}$ didapatkan $4=\frac{1+r}{r}$ atau $4r=1+r$
diperoleh $r=\frac{1}{3}$
Jumlah tak hingga dengan $a=8$ dan rasio $r=\frac{1}{3}$ adalah$S_\infty=\frac{8}{1-\frac{1}{3}}=\frac{8}{\frac{2}{3}}=12$
Jumlahnya adalah 12

Soal No.10
Jika $A=\begin{bmatrix} 1&2\\ 0&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}$ maka determinan dari $A^TA+BB^T$ adalah....
A. $-5$
B. $-4$
C. $0$
D. $4$
E. $5$

Jawab: E
$A^T=\begin{bmatrix} 1&0&1\\ 2&1&1 \end{bmatrix}$, maka $A^TA=\begin{bmatrix} 1&0&1\\ 2&1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2\\ 0&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2&3\\3&6 \end{bmatrix}$
$B^T=\begin{bmatrix} 1&2 \end{bmatrix}$ maka $BB^T=\begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&2\\ 2&4 \end{bmatrix}$
$|A^TA+BB^T|=\left| \begin{array}{cc} 2+1&3+2\\ 3+2&6+4 \end{array} \right|=30-25=5$
Maka $|A^TA+BB^T|=5$

Soal No.11
Jika $\tan x=2$ maka $\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}=$....
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $2$
D. $3$
E. $4$

Jawab: D
$\tan x=\frac{2}{1}$ perbandingannya digambar dalam segitiga berikut

Dengan perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku didapat $\sin x=\frac{2}{\sqrt5}$ dan $\cos x=\frac{1}{\sqrt5}$
$\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}=\frac{\frac{2}{\sqrt5}+\frac{1}{\sqrt5}}{\frac{2}{\sqrt5}-\frac{1}{\sqrt5}}=\frac{3}{1}=3$

Soal No.12
Di dalam sebuah kotak terdapat sembilan bola yang diberi nomor 1 sampai nomor 9. Diambil tiga bola satu-persatu tanpa pengembalian. Peluang bola pertama genap, bola ke-2 ganjil, dan bola ke-3 genap adalah....
A. $\frac{7}{252}$
B. $\frac{8}{252}$
C. $\frac{5}{42}$
D. $\frac{6}{41}$
E. $\frac{9}{43}$

Jawab: C
Terdapat 5 bola bernomor ganjil dan 4 bola bernomor genap
terambil bola genap pada pengambilan pertama peluangnya $\frac{4}{9}$
karena 1 bola genap sudah terambil sisa bola tinggal 8, peluang pengambilan kedua bola ganjil $\frac{5}{8}$
karena 1 bola genap dan 1 bola genap sudah terambil tersisa 7 bola dengan bola genap berjumlah 3, peluang pengambilan ketiga terambil genap adalah $\frac{3}{7}$.
Peluang bola pertama genap, bola ke-2 ganjil, dan bola ke-3 genap adalah $\frac{4}{9}\cdot\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}=\frac{5}{42}$

Soal No.13
Jika rata-rata dari $a, b, c$ dan $a^2, b^2, c^2$ bertutut-turut adalah 2 dan 4, maka rata-rata $ab, bc, ca$ adalah....
A. $\frac{10}{3}$
B. $\frac{11}{3}$
C. $4$
D. $\frac{13}{3}$
E. $\frac{14}{3}$

Jawab: C
Rata-rata $a,b,c$ adalah $\frac{a+b+c}{3}=2$ atau $a+b+c=6$
rata-rata $a^2,b^2,c^2$ adalah $\frac{a^2+b^2+c^2}{3}=4$ atau $a^2+b^2+c^2=12$
$(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ac)$
$6^2=12+2(ab+bc+ac)$
$36-12=2(ab+bc+ac)$ maka $(ab+bc+ac)=\frac{24}{2}=12$
rata-rata $(ab+bc+ac)=\frac{12}{3}=4$

Soal No.14
Diketahui $f(x)=x^2+1$ dan $g(x)=ax+2$ dengan $a\neq 0$. Jika $(f\circ g^{-1})(1)=5$, maka $4a^2-3=$....
A. $-3$
B. $-2$
C. $-1$
D. $1$
E. $2$

Jawab: B
$g(x)=ax+2$, maka $g^{-1}(x)=\frac{x-2}{a}$ maka $g^{-1}(1)=\frac{1-2}{a}=-\frac{1}{a}$
$(f\circ g^{-1})(1)=f(g^{-1}(1)=5$, substitusi $g^{-1}(1)=-\frac{1}{a}$
$f(-\frac{1}{a})=5$ didapat $(-\frac{1}{a})^2+1=5$, $\frac{1}{a^2}=4$, maka $a^2=\frac{1}{4}$
Nilai $4a^2-3=4(\frac{1}{4})-3=-2$

Soal No.15
Nilai $\lim \limits_{x \to 1}\frac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^2}}$ adalah....
A. $\sqrt[2]{2}$
B. $0$
C. $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
D. $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$
E. $\sqrt[3]{2}$

Jawab: C
$\lim \limits_{x \to 1}\frac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=\lim \limits_{x \to 1}\frac{-(1-x)+(1-x)^{\frac{1}{3}}}{(1-x^2)^{\frac{1}{3}}}=\lim \limits_{x \to 1}\frac{-((1-x)^{\frac{1}{3}})^3+(1-x)^{\frac{1}{3}}}{((1-x)(1+x))^{\frac{1}{3}}}$.
$\lim \limits_{x \to 1}\frac{{(1-x)^{\frac{1}{3}}}(-((1-x)^{\frac{1}{3}})^2+1)}{{(1-x)^{\frac{1}{3}}}(1+x)^{\frac{1}{3}}}=\frac{-((1-1)^{\frac{1}{3}})^2+1}{(1+1)^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Soal No.16
Nilai $f(x)=(ax^2+bx+c)(x^2+x)$. Jika $f'(0)=3$ dan $f'(-1)=10$, maka $f'(-\frac{1}{2})=$....
A. $-\frac{15}{4}$
B. $-\frac{13}{4}$
C. $-\frac{11}{4}$
D. $-\frac{9}{4}$
E. $-\frac{7}{4}$

Jawab: B
Misalkan $ax^2+bx+c=u$ dan $x^2+x=v$, $f(x)$ bisa ditulis $f(x)=u\cdot v$
$f'(x)=u'v+v'u=[(2ax+b)(x^2+x)]+[(2x+1)(ax^2+bx+c)]$.
$f'(0)=3$ maka $f'(0)=[(2a(0)+b)(0^2+0)]+[(2(0)+1)(a(0)^2+b(0)+c)]=3$ didapat $c=3$.
$f'(-1)=10$ maka $f'(-1)=[(2a(-1)+b)((-1)^2-1)]+[(2(-1)+1)(a(-1)^2+b(-1)+3)]=10$
$-a+b-3=10$ atau $-a+b=13$.
$f'(-\frac{1}{2})=[(2a(-\frac{1}{2})+b)((-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2})]+[(2(-\frac{1}{2})+1)(a(-\frac{1}{2})^2+b(-\frac{1}{2})+3)]=$
$f'(-\frac{1}{2})=(-a+b)(-\frac{1}{4})=-\frac{13}{4}$

Soal No.17
Jika $m$ dan $M$ berturut-turut menyatakan nilai minimum relatif dan maksimum relatif fungsi $f(x)=2x^3-3x^2+a$, dengan $M+m=3$ maka $f(2)=$....
A. $0$
B. $2$
C. $4$
D. $5$
E. $6$

Jawab: E
Nilai minimum dan maksimum didapat dari $f'(x)=0$, dari fungsi didapat $f'(x)=6x^2-6x=0$,
difaktorkan menjadi $6x(x-1)=0$, diperoleh pembuat nol $x_1=0$ dan $x_2=1$.

Perhatikan sebelum $x=0$ tandanya $"+"$ artinya kurva naik dan setelah $x=0$ sebelum $x=1$ tandanya $"-"$ artinya kurva turun, menyebabkan minimum relatif $f(x)$ saat $x=0$,
sehingga $m=f(0)=a$.
Perhatikan sebelum $x=1$ tandanya $"-"$ artinya kurva turun dan setelah $x=1$ tandanya $"+"$ artinya kurva naik, menyebabkan maksimum relatif $f(x)$ saat $x=1$,
sehingga $M=f(1)=2(1)^3-3(1)^2+a=-1+a$.
$M+m=-1+a+a=3$, maka $a=2$, didapat $f(x)=2x^3-3x^2+2$.
$f(2)=2(2)^3-3(2)^2+2=6$

Soal No.18
Jika $x$ adalah sudut dengan $90^\circ <x<180^\circ$, dan $4-2\cos^2x=5\sin x$ maka $\cos x=$....
A. $-\frac{1}{2}\sqrt{3}$
B. $-\frac{1}{2}\sqrt{2}$
C. $-\frac{1}{2}$
D. $-\frac{1}{2\sqrt{2}}$
E. $-\frac{1}{2\sqrt{3}}$

Jawab: A
$\cos^2x=1-\sin^2x$, substitusikan ke persamaan di soal didapat $4-2(1-\sin^2x)=5\sin x$
persamaan menjadi $2\sin^2x-5\sin x+2=0$
$(2\sin x-1)(\sin x-2)$, didapat $\sin x=\frac{1}{2}$, dan $\sin x =2$ yang mana ini tidak mungkin.
karena $90^\circ <x<180^\circ$, maka $x$ yang memenuhi $\sin x=\frac{1}{2}$ adalah $x=150^\circ$
$\cos150^\circ=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$

Soal No.19
Apabila $x$ dan $y$ memenuhi $$\log x^2-\log y=1$$ $$\log x+\log y=8$$ maka nilai $y-x=$....
A. $9$
B. $99$
C. $990$
D. $9900$
E. $99000$

Jawab: E
$2\log x-\log y=1\cdots(1)$
$\log x+\log y=8\cdots(2)$
Jumlahkan (1) dan (2) didapatkan $3\log x=9$ didapat $\log x=3$, sehingga $x=1000$.
dari (2) didapat $\log y=5$, sehingga $y=100000$
$y-x=100000-1000=99000$

Soal No.20
Diberika segitiga siku-siku $ABC$, dengan $\angle BAC=\alpha$, $AB=4$ dan $BC=3$. Titik $C_1$ merupakan titik sehingga $\triangle ACC_1$ siku-siku di $C$ dan $\angle CAC_1=\alpha$. Titik $C_2$ dipilih sehingga $\triangle AC_1C_2$ siku-siku di $C_1$ dan $\angle C_1AC_2=\alpha$, dan seterusnya. Panjang $AC_1, AC_2, AC_3, \dots$ merupakan barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$. nilai $\frac{a}{r}$ adalah....
A. $3$
B. $4$
C. $5$
D. $6$
E. $7$

Jawab: C
Panjang $AC=\sqrt{4^2+3^2}=5$, maka pada segitiga ABC $\cos\alpha=\frac{4}{5}$
Pada segitiga $ACC_1$, $\cos\alpha=\frac{AC}{AC_1}$ didapat $\frac{4}{5}=\frac{5}{AC_1}$ sehingga $AC_1=\frac{25}{4}$.
Pada segitiga $AC_1C_2$, $\cos\alpha=\frac{AC_1}{AC_2}$ didapat $\frac{4}{5}=\frac{\frac{25}{4}}{AC_2}$ sehingga $AC_2=\frac{625}{16}$.
Kita peroleh $a=AC_1=\frac{25}{4}$ dan $r=\frac{AC_2}{AC_1}=\frac{\frac{625}{16}}{\frac{25}{4}}=\frac{5}{4}$.
Nilai $\frac{a}{r}=\frac{\frac{25}{4}}{\frac{5}{4}}=5$