Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2019

Bagi teman-teman yang memerlukan pembahasan soal SIMAK UI 2019, mata pelajaran matematika Dasar silahkan boleh download ya. Soal SIMAK UI ada beberapa kode, dan saya ngga tahu ini kodenya, berapa, hehehe. Jika ada kekurangan dalam penulisan silahkan sampaikan sebagai bahan masukkan, insyaa Allah berikutnya akan diposting pembahasan SIMAK UI 2019 matematika IPA, pembahasan soal UTUL UGM 2019 dan pembahasan soal UM Undip 2019.

Download pembahasan SIMAK UI 2019 matematika dasar di sini.

Soal Nomor 1
Jika $2\cdot5^{(1-2x)}+2^3\cdot5^{-x}-2=0$, hasil penjumlahan dari semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah....
A. $-2$
B. $-1$
C. 0
D. 1
E. 2

Jawab: D
Persamaan dapat diubah menjadi $2\cdot5\cdot5^{-2x}+8\cdot5^{-x}-2=0$
$2\cdot5\cdot(5^{-x})^2+8\cdot5^{-x}-2=0$, Misalkan $5^{-x}=p$, persamaan menjadi:
$10p^2+8p-2=0$, persamaan dibagi 2 menjadi
$5p^2+4p-1=0$ difaktorkan $(5p-1)(P+1)=0$
Didapat nilai $p_1=\frac{1}{5}$ atau $p_2=-1$.
Untuk $p_1=\frac{1}{5}$, maka $5^{-x}=5^{-1}$ didapat $x=1$.
Untuk $p_2=-1$, maka $5^{-x}=-1$ tidak ada nilai $x$ yang memenuhi
Sehingga nilai $x$ yang memenuhi hanya $x=1$

Soal Nomor 2
Jika $\displaystyle{^2\log5^{2+4+6+...+2x}=-28\cdot^2\log(\frac{2}{50})}$, nilai $x-2$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah....
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9

Jawab: A
Perhatikan $2+4+6+...+2x+S_n$, deret aritmatika dengan $a=2$, $n=x$ dan $U_n=2x$, maka
$S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)=\frac{x}{2}(2+2x)$
$S_n=x^2+x$ dengan $x>0$
Persamaan di soal dapat ditulis menjadi
$^2\log5^{x^2+x}=-28(^2\log2-^2\log50)$
$^2\log5^{x^2+x}=-28(^2\log2-(^2\log2+^2\log25))$
$^2\log5^{x^2+x}=-28(-^2\log5^2)$
$^2\log5^{x^2+x}=^2\log5^{56}$
$5^{x^2+x}=5^{56}$
$x^2+x-56=0$ difaktorkan $(x+8)(x-7)=0$, didapat nilai yang memenuhi $x=7$.
Nilai $x-2=7-2=5$

Soal Nomor 3
Diketahui $f(x)=2x+2$. jika $(f(x))^2+f(x)-2=0$ memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$ dengan $x_1<x_2$, persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1+3$ dan $x_2-1$ adalah....
A. $2x^2+x-3$
B. $2x^2-3x+3$
C. $2x^2+3x-5$
D. $2x^2+7x+5$
E. $2x^2-7x-5$

Jawab: A
$(f(x))^2+f(x)-2=0$
$(2x+2)^2+2x+2-2=0$ menghasilkan $4x^2+8x+4+2x=0$
$4x^2+10x+4=0$, dibagi dengan 2
$2x^2+5x+2=0$, difaktorkan $(2x+1)(x+2)=0$
maka $x+2=0$ didapat $x_1=-2$ atau
$2x+1=0$ didapat $x_2=-\frac{1}{2}$
Persamaan kuadrat yang akarnya $x_1+3=-2+3=1$ dan $x_2-1=-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}$ adalah
$(x-1)(x-(-\frac{3}{2}))=0$ atau $(x-1)(x+\frac{3}{2})=0$
$x^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$ dikali 2
diperoleh persamaan kuadrat baru $2x^2+x-3=0$

Soal Nomor 4
Hasil dari penjumlahan nilai $x, y$ dan $z$ yang memenuhi $\displaystyle{3^{2x+y-z}=\left(\frac{1}{27}\right)^{(x-y+2z+2)}, \log(x-y+z)=\frac{1}{1+^2\log5}}$ dan $\begin{vmatrix} x&\frac{1}{2}\\ 2y&2 \end{vmatrix}=2$ adalah....
A. $-\frac{1}{2}$
B. $-\frac{2}{3}$
C. $-1$
D. $-\frac{4}{3}$
E. $-\frac{5}{3}$

Jawab: -
Dari $\displaystyle{3^{2x+y-z}=\left(\frac{1}{27}\right)^{(x-y+2z+2)}}$ didapat $3^{2x+y-z}=3^{-3(x-y+2z+2)}$ atau $2x+y-z=-3x=3y-6z-6$
$5x-2y+5z=-6\cdots(1)$

Dari $\displaystyle{\log(x-y+z)=\frac{1}{1+^2\log5}}$ didapat
$\displaystyle{\log(x-y+z)=\frac{1}{^2\log2+^2\log5}}$
$\displaystyle{\log(x-y+z)=\frac{1}{^2\log10}}$
$\displaystyle{\log(x-y+z)=\log2}$ diperoleh $x-y+z=2\cdots(2)$

Dari $\begin{vmatrix} x&\frac{1}{2}\\ 2y&2 \end{vmatrix}=2$ didapat $2x-y=2\cdots(3)$
Perhatikan (2)=(3), maka $x-y+z=2x-y$, didapat $x=z$, ini disubstitusi ke (1) didapat
$5x-2y+5x=-6$ atau $10x-2y=-6$ disederhanakan menjadi $5x-y=-3\cdots(4)$

Eliminasi (2) dan (4) didapat $3x=-5$ atau $x=-\frac{5}{3}=z$
dari (3) didapat $y=-\frac{16}{3}$.
Maka nilai $x+y+z=-\frac{5}{3}-\frac{16}{3}-\frac{5}{3}=-\frac{26}{3}$

Soal Nomor 5
Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi $\displaystyle{\frac{(x^2+x+1)\sqrt{x+1}}{(3x^2-4x+1)\sqrt{5-x}}}\geq0$ adalah....
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Jawab: E
Perhatikan $x^2+x+1$ definit positif untuk semua bilangan real $x$.
$\sqrt{x+1}$ selalu positif dan $x\geq-1$
$\sqrt{5-x}$ selalu positif dan $x<5$ ,penyebut $\neq0$
dari sini didapat syarat nilai $x$ yaitu $-1\leq x<5$

Agar pertidaksamaan terjadi, maka $3x^2-4x+1>0$
$(3x-1)(x-1)>0$, pembuat nol $x=\frac{1}{3}$ atau $x=1$

Didapat $x<\frac{1}{3}$ atau $x>1$, iriskan dengan syarat $x$ yaitu $-1\leq x<5$

Didapat penyelesaiannya $-1\leq x<\frac{1}{3}$ atau $1<x<5$
Nilai $x$ bulat yeng memenuhi yaitu: $-1, 0, 2, 3, 4$, banyaknya nilai $x$ adalah 5.

Soal Nomor 6
Diketahui $A=\begin{bmatrix} 1&2\\ 2&1 \end{bmatrix}$ dan $B=\begin{bmatrix} -1&2\\ 2&1 \end{bmatrix}$. Jika $A+tB$ merupakan matriks singular, nilai $t^2+3t+2=$....
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 5

Jawab: A
$A+tB=\begin{bmatrix} 1&2\\ 2&1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -t&2t\\ 2t&t \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1-t&2+2t\\ 2+2t&1+t \end{bmatrix}$
$A+tB$ singular maka $|A+tB|=0$
$|A+tB|=(1-t)(1+t)-(2+2t)(2+2t)=0$
$-5t^2-8t-3=0$ atau $5t^2+8t+3=0$ difaktorkan
$(5t+3)(t+1)=0$, nilai $t=-\frac{3}{5}$ atau $t=-1$
Nilai $t^2+3t+2=(-1)^2+3(-1)+2=0$

Soal Nomor 7
Diketahui $\triangle ABC$ sama sisi, $BC=2CD$, garis $DEF$ tegak lurus $AB$ dan $AG$ sejajar $DF$, seperti tampak pada gambar. Jika luas $\triangle BDF$ adalah $\frac{81}{2}\sqrt3$, luas trapesium AGDE adalah....
A. $\frac{9}{2}\sqrt3$
B. $\frac{27}{2}\sqrt3$
C. $\frac{35}{2}\sqrt3$
D. $\frac{45}{2}\sqrt3$
E. $\frac{63}{2}\sqrt3$

Jawab: D
Misalkan panjang $CD=x$, maka $AB=BC=AC=2x$
Perhatikan gambar dibawah

$\triangle CDE$ sama kaki maka $CD=CE=x$ akibatnya $AE=x$.
Perhatikan $\triangle BDF$, berlaku:
$\sin 60^o=\frac{DF}{BD}$ dimana $BD=3x$.
$\displaystyle{\frac{\sqrt3}{2}=\frac{DF}{3x}}$ didapat $\displaystyle{DF=\frac{3}{2}\sqrt3x}$

$\cos 60^o=\frac{BF}{BD}$.
$\displaystyle{\frac{1}{2}=\frac{BF}{3x}}$ didapat $\displaystyle{BF=\frac{3}{2}x}$, akibatnya $AF=\frac{1}{2}x$

$L.\triangle BDF=\frac{1}{2}\cdot BF \cdot DF$
$\displaystyle{\frac{81}{2}\sqrt3=\frac{1}{2}(\frac{3}{2}x)(\frac{3}{2}\sqrt3x)}$ didapat
$9=\frac{x^2}{4}$, maka $x^2=36$ didapat $x=6$.

$AF=\frac{1}{2}x=3$
$DF=AG=\frac{3}{2}x=9\sqrt3$
$AE=x=6$

Dari $\triangle AFE$ didapat $FE=\sqrt{AE^2-AF^2}$
$FE=\sqrt{36-9}=3\sqrt3$, akibatnya $DE=DF-FE=9\sqrt3-3\sqrt3$, maka $DE=6\sqrt3$

Luas $AGDE=\frac{1}{2}(AG+DE)(AF)$
Luas $AGDE=\frac{1}{2}(9\sqrt3+6\sqrt3)(3)=\frac{45}{2}\sqrt3$

Soal Nomor 8
Jika $a^2-bc, b^2-ac, c^2-ab$ adalah barisan aritmatika dengan $a+b+c=12$, nilai $a+c$ adalah....
A. 2
B. 4
C, 6
D. 8
E. 10

Jawab: D
Misalkan $U_1=a^2-bc, U_2=b^2-ac, U_3=c^2-ab$
Pada barisan aritmatika berlaku $2U_2=U_1+U_3$
$2b^2-2ac=a^2-bc+c^2-ab$
$2b^2+bc+ab=a^2+c^2+2ac$
$b(2b+a+c)=(a+c)^2\cdots(1)$

Dari $a+b+c=12$, maka $a+c=12-b\cdots(2)$
Substitusi (2) ke (1) didapat
$b(2b+12-b)=(12-b)^2$
$b^2+12b=b^2-24b+144$
$36b=144$, maka $b=4$.
Maka $a+c=12-b=12-4=8$

Soal Nomor 9
Jika $(p^2-1)x+y=0$ dan $-2x+(p^2-4)y=0$ dengan $x\neq0$, $y\neq0$ dan $p^2$ adalah nilai terbesar yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut, nilai $\displaystyle{\frac{y}{x}}$ adalah....
A. $-3$
B. $-2$
C. 1
D. 2
E. 3

Jawab: B
$-2x+(p^2-4)y=0$, maka $\displaystyle{\frac{y}{x}=\frac{2}{p^2-4}}$ ,akan dicari $p^2$
dari $-2x+(p^2-4)y=0$ didapat $\displaystyle{x=\frac{p^2-4}{y}}$, substitusikan ke $(p^2-1)x+y$
$\displaystyle{(p^2-1)\left(\frac{p^2-4}{2}\right)y+y=0}$
$\displaystyle{y\left(\frac{(p^2-4)(p^2-1)}{2}+1\right)=0}$, karena $y\neq0$ maka
$\displaystyle{\frac{(p^2-4)(p^2-1)}{2}+1=0}$
$p^4-5p^2+4=-2$ atau $p^4-5p^2+6=0$
$(p^2-3)(p^2-2)=0$, maka $p^2=3$ atau $p^2=2$
$p^2$ terbesar adalah $3$, sehingga
Nilai $\displaystyle{\frac{y}{x}=\frac{2}{3-4}=-2}$

Soal Nomor 10
Terdapat 10 orang pergi ke tempat wisata dengan mengendarai 3 mobil berkapasitas 4 orang dan tiga orang diantaranya adalah pemilik mobil. Jika setiap mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan disetiap mobil minimal ada satu penumpang selain pengemudi, banyaknya kemungkinan komposisi berbeda untuk menempatkan penumpang di ketiga mobil tersebut adalah….
A. 1190
B. 1050
C. 840
D. 700
E. 560

Jawab: B
Karena 3 pemilik di mobilnya masing-masing, tersisa 7 orang yang akan ditempatkan ke 3 mobil tersebut, ini terbagi menjadi 2 kasus:

Kasus 1: $3, 3, 1$, Ket:di 2 mobil masing-masing ada 4 orang dan di 1 mobil lain 2 orang
$C^7_3 \cdot C^4_3 \cdot C^1_1\cdot3=35\cdot 4 \cdot 1 \cdot 3=420$

Kasus 2: $2, 2, 3$, ket:di 2 mobil masing-masing ada 3 orang dan di 1 mobil lain 4 orang
$C^7_2 \cdot C^5_2 \cdot C^3_3\cdot3=21\cdot 10 \cdot 1 \cdot 3=630$

Banyaknya komposisi adalah $420+630=1050$

Soal Nomor 11
Jika $(g^{-1}\circ f^{-1})(x)=3x-1$ dan $\displaystyle{f(x)=\frac{x-2}{x+1}}$ untuk $x\neq-1$, maka $g(a-2)=$....
A. $\displaystyle{\frac{-a+9}{a-4}}$
B. $\displaystyle{\frac{-(a+8)}{a-1}}$
C. $\displaystyle{\frac{-(a+5)}{a-4}}$
D. $\displaystyle{\frac{-(a+6)}{a-3}}$
E. $\displaystyle{\frac{-a+5}{a-3}}$

Jawab: C
$(g^{-1}\circ f^{-1})(x)=3x-1$, maka $(f\circ g)^{-1}(x)=3x-1$, akan dicari $(f\circ g)(x)$
Misal $y=3x-1$, maka $x=\frac{y+1}{3}$, sehingga $(f\circ g)(x)=\frac{x+1}{3}$.
Dari soal, $\displaystyle{{f(x)=\frac{x-2}{x+1}}}$ maka $\displaystyle{{f(g(x))=\frac{g(x)-2}{g(x)+1}}=\frac{x+1}{3}}$
$3g(x)-6=g(x)(x+1)+x+1$
$3g(x)-g(x+1)=x+7$
$g(x)(3-(x+1))=x+7$, maka
$\displaystyle{g(x)=\frac{x+7}{-x+2}}$
$\displaystyle{g(a-2)=\frac{a-2+7}{-(a-2)+2}}=\frac{a+5}{-a+4}$
Didapat $\displaystyle{g(a-2)=\frac{-(a+5)}{a-4}}$

Soal Nomor 12
Terdapat delapan orang, tiga diantaranya adalah Beni, Caca dan Dodi, yang akan melakukan perjalanan menggunakan 4 sepeda motor. Setiap sepeda motor hanya bisa dinaiki maksimal oleh 2 orang. Jika setiap orang akan menaiki sepeda motor secara acak, peluang bahwa Beni, Caca, dan Dodi tidak berada pada satu motor yang sama adalah….
A. $\frac{4}{5}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{4}{7}$
D. $\frac{3}{8}$
E. $\frac{3}{10}$

Jawab: C
Karena posisi duduk di motor menentukan, maka ruang sampelnya adalah $n(S)=8!$
Akan dihitung peluang Beni, Caca dan Dodi berada pada satu motor yang sama, misalkan $P(A)$.
Banyaknya cara ke 8 orang menaiki motor dengan Beni, Caca atau Dodi di motor yang sama adalah:
$n(A)=C^3_2\cdot 2 \cdot 6! \cdot 4$
$C^3_2$= cara memilih Beni, Caca atau Dodi, 2=cara duduk Beni, Caca atau Dodi, $6!$=cara duduk 6 orang sisanya, 4=banyaknya motor

$\displaystyle{P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}}$
$\displaystyle{P(A)=\frac{3\cdot2\cdot6! \cdot4}{8\cdot7\cdot6!}=\frac{3}{7}}$
Peluang Beni, Caca dan Dodi tidak dalam satu motor $\displaystyle{P'(A)=1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}}$

Soal Nomor 13
Jika $f(x)=2x^2-3x+1$, $g(x)=ax+b$ dan $(g\circ f)(x-1)=4x^2-14x+11$, maka....
(1) $a=2$
(2) $b=-1$
(3) $(f\circ g)(1)=10$
(4) $\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}=x+1}$

Jawab:-
$(g\circ f)(x-1)=4x^2-14x+11$, akan dicari $(g\circ f)(x)$ dengan mengubah $4x^2-14x+11$.
$(g\circ f)(x-1)=4x^2-14x+11=4(x-1)^2-6(x-1)+1$, didapat
$(g\circ f)(x)=4x^2-6x+1$
$(g(f(x))=4x^2-6x+1$, karena $g(x)=ax+b$ maka $g(f(x))=af(x)+b$
$af(x)+b=4x^2-6x+1$ substitusi $f(x)=2x^2-3x+1$
$2ax^2-3ax+a+b=4x^2-6x+1$, didapat:

$2ax^2=4x^2$ sehingga $2a=4$, maka $a=2$, Pernyataan (1) benar
$a+b=1$, maka $2+b=1$, didapat $b=-1$, Pernyataan (2) benar

$g(x)=2x-1$ dan $g(1)=1$
$(f\circ g)(1)=f(g(1))=f(1)=0$, Pernyataan (3) salah

$\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2x^2-3x+1}{2x-1}=(x-1)}$ Pernyataan (4) salah

Soal Nomor 14
Jika $f(x)=ax^3+2x^2-bx+5$ dan $f$ mempunyai garis singgung mendatar di $x=1$ dan $x=-5$, maka...
(1) $a^2-b^2=-17$
(2) $f$ naik pada interval $(-\infty,-\frac{13}{9})\cup (1,\infty)$
(3) (2) $f$ turun pada interval $(-\infty,-\frac{13}{9},1)$
(4) Persamaan garis singggung pada $f$ di $x=1$ adalah $y=-3$

Jawab:-
Di $x=1$ dan $x=-5$ terdapat garis singgung mendatar yang mana gradiennya $(m=0)$, gradien $m$ didapat dari $f'(x)$ di  absis titik singgung, atau dapat kita tuliskan $m=f'(x)=0$ saat $x=1$ dan $x=-5$.

Suatu fungsi memiliki nilai maksimum dan minimum relatif saat $f'(x)=0$, absis pembuat nol $f'(x)$ juga merupakan batas $f(x)$ naik dan turun, sehingga batas naik dan turunnya fungsi tersebut di $x=1$ dan $x=-5$. Pernyataan (2) dan (3) salah. 

Dari $m=f'(x)=0$ saat $x=1$ dan $x=-5$,
$m=3ax^2+4x-b=0$ saat $x=1$ dan $x=-5$
untuk $x=1$ maka $3a+4-b=0\cdots(1)$
untuk $x=-5$ maka $75a-20-b=0\cdots(2)$
eliminasi (1) dan (2) didapat $a=\frac{1}{3}$ dan $b=5$
$a^2-b^2\neq-17$ Pernyataan (1) salah

Garis singgung di $x_1=1$, maka $y_1=\frac{1}{3}(1)^3+2(1)^2-5(1)+5=\frac{7}{3}$ dengan $m=0$ adalah
$y-y_1=m(x-x_1)$ atau $y-\frac{7}{3}=0(x-1)$ didapat $y=\frac{7}{3}$. Pernyataan (4) Salah

Soal Nomor 15
Rata-rata nilai matematika Badu sebelum ujian terakhir adalah 89. Pada ujian terakhir, badu memperoleh nilai 97 dan rata-rata ujian menjadi 90. Jika rata-rata tiga nilai ujian pertama Badu adalah 80, maka….
(1) Ujian yang diikuti Badu sebanyak 8 kali
(2) Total nilai yang diperoleh Badu untuk seluruh ujian adalah 623
(3) Rata-rata nilai ujian selain tiga ujian pertama adalah 96
(4) Badu tidak pernah memperoleh nilai di bawah 90 pada lima ujian terakhir

Jawab: B
Misalkan rata-rata ujian sekolah sebelum ujian terakhir $\overline{X_A}=89$
nilai ujian terakhir $X_B=97$
nilai rata-rata setelah ujian terakhir $X_B=90$
nilai rata-rata 3 ujian pertama $X_3=80$
banyak ujian sebelum ujian terakhir adalah $n$.

$\displaystyle{X_B=\frac{1\cdot X_B+n\cdot \overline{X_A}}{1+n}}$
$\displaystyle{90=\frac{1\cdot 97+n\cdot 89}{1+n}}$
$90+90n=97+89n$, didapat $n=7$ sehingga
jumlah semua ujian adalah $7+1=8$ kali. Pernyataan (1) benar

Total nilai seluruh ujian adalah $97+7(89)=720$. Pernyataan (2) salah

Misalkan rata-rata nilai selain 3 ujian pertama sebelum ujian terakhir adalah $X_C$, maka
$\displaystyle{X_A=\frac{3\cdot \overline{X_3}+4\cdot \overline{X_C}}{7}}$
$\displaystyle{89=\frac{3\cdot 80+4\cdot \overline{X_C}}{7}}$
$623=240+4\overline{X_C}$, maka $4\overline{X_C}=383$
Rata-rata selain 3 ujian pertama adalah $\displaystyle{\frac{\overline{X_C}+1\cdot97}{5}=\frac{383+97}{5}=96}$. Pernyataan (3) benar.

Total lima nilai terakhir $383+97=480$ bisa dibuat menjadi $4(100)+80$. pernyataan (4) salah